Questão 4 Verifique se os subconjuntos W abaixo são subspaços vetoriais de V. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
$V=\mathcal{P}_{2}(X) \subseteq \mathbb{R}[X], W=\left{a x^{2}+b x+c \in V ; b^{2}-4 a c=0\right}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = a x^2+b x+c in P2(X)mid b^2-4ac=0
é subespaço de V=P2(X). Para isso vamos checar a fechamento sob soma (bastará um contra-exemplo).

Passo 2

Tome p1=x^2 e p2=(x+1)^2; ambas têm discriminante zero, logo p1,p2in W. Mas
p1+p2=2x^2+2x+1
tem discriminante
2^2-4cdot2cdot1=-4neq0,
logo p1+p2notin W, mostrando que W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados