Questão 4 Verifique se os subconjuntos
abaixo são subspaços vetoriais de
. Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
\left.i+j<=3\right}.
\left.i+j<=3\right}.
Passo 1
O espaço ambient
é
e o subconjunto é
Note que os pares
com
são
e
, de modo que a condição impõe apenas
Vamos verificar se
é subespaço e, em caso afirmativo, achar uma base.
Passo 2
Para ver que
é subespaço, checamos:
- A matriz zero está em
pois . - Se
então em vale , logo . - Se
e então em vale , logo .
Portantoé subespaço de .
Passo 3
Um elemento genérico de
tem a forma
com
. Há três graus de liberdade, sugerindo
.
Passo 4
Podemos escolher como base de
os três matrizes independentes que geram todos esses
:
Resposta
Uma base de
é