Questão 4 Verifique se os subconjuntos abaixo são subspaços vetoriais de . Caso afirmativo, determine uma base (se não houver base, apenas diga “não há base”). Caso negativo dê um contra-exemplo ou justifique. Sua justificativa deve ter no máximo duas linhas.
\left.i+j<=3\right}.

Passo 1

O espaço ambient e é V=M2times2(R) e o subconjunto é
W=A=(aij)in Vmid aij=aji sempre que i+j<=3
Note que os pares (i,j) com i+j<=3 são (1,1) e (1,2), de modo que a condição impõe apenas
a12=a21
Vamos verificar se W é subespaço e, em caso afirmativo, achar uma base.

Passo 2

Para ver que W é subespaço, checamos:
  1. A matriz zero está em W pois 0=0.
  2. Se A,Bin W então em A+B vale (a12+b12)=(a21+b21), logo A+Bin W.
  3. Se Ain W e lambdainR então em lambda A vale lambda a12=lambda a21, logo lambda Ain W.
    Portanto W é subespaço de V.

Passo 3

Um elemento genérico de W tem a forma
A= a&b b&c ,
com a,b,cinR. Há três graus de liberdade, sugerindo dim W=3.

Passo 4

Podemos escolher como base de W os três matrizes independentes que geram todos esses A:
E11=1&00&0, F=0&11&0, E22=0&00&1

Resposta

Uma base de W é
1&00&0,; 0&11&0,; 0&00&1

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