Dê exemplos de:
Sequência que não seja monótona, e que seja convergente para 0 .
Passo 1
O enunciado pede exemplos de sequências \emph{não monotônicas} que, apesar disso, convergem para zero. Vamos usar o conceito de convergência de sequência (isto é, mostrar que o termo geral tende a ) e lembrar que uma sequência monotônica exigiria termos sempre não decrescentes ou não crescentes, o que não ocorrerá nos exemplos.
Passo 2
Considere a sequência
Para ver que converge a , note que
logo limntoinftyan=0. Essa sequência não é monotônica porque os termos alternam sinal e em módulo decrescem, mas em valor concreto não mantêm sempre an+1>= an nem sempre an+1<= an.
Passo 3
Considere a sequência
bn = sin(n)n
Como lvertsin(n)rvert<=1, tem-se
l|sin(n)nr| <= 1n e limntoinfty1n=0,
logo limntoinftybn=0. Não é monotônica porque sin(n) oscila de modo irregular, fazendo bn subir e descer sem manter tendência única.
Resposta
Exemplos de sequências não monotônicas que convergem para zero são: an = (-1)^nn bn = sin(n)n