Suponha que você parte do ponto (0,0,3) e percorre uma distância de 5 unidades ao longo da curva parametrizada por:
x=3 sin t, y=4 t, z=3 cos t
na direção de t crescente. Qual será a sua nova posição?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
x=3sin t, y=4t, z=3cos t
e diz que partimos do ponto (0,0,3), que corresponde a t=0. Queremos a posição após percorrer uma distância de 5 unidades ao longo da curva no sentido de t crescente. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos usar
s(t)=integral0^traizl(dxdtaur)^2+l(dydtaur)^2+l(dzdtaur)^2,dtau

Passo 2

Calculamos as derivadas
dxdt=3cos t, dydt=4, dzdt=-3sin t
e então a rapidez (velocidade escalar) é
dsdt =raiz(3cos t)^2+4^2+(-3sin t)^2 =raiz9cos^2 t+16+9sin^2 t =raiz25 =5

Passo 3

Como tfracdsdt=5 é constante, temos
s(t)=integral0^t5,dtau=5t
Queremos s(t)=5, logo
5t=5 Longrightarrow t=1

Passo 4

Basta colocar t=1 na parametrização para obter a nova posição:
x(1)=3sin1, y(1)=4cdot1=4, z(1)=3cos1

Resposta

l(3sin1,;4,;3cos1r)

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