Encontre o raio de convergência das séries de potências e seu intervalo de convergência.
sumn=0^infty (-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty (-1)^nx^2n+1(2n+1)!
O conteúdo principal é o teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral
un = (-1)^nx^2n+1(2n+1)!
e aplicamos o teste da razão, analisando
|un+1un|

Passo 3

Calculamos
|un+1un| = |(-1)^n+1x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)! cdot(2n+1)!(-1)^n x^2n+1| = |x|^2n+3(2n+3)!,(2n+1)!|x|^2n+1 = |x|^2(2n+2)(2n+3)

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty,
limntoinfty|x|^2(2n+2)(2n+3) = 0
Como esse limite é menor que 1 para todo xinR, a série converge absolutamente para qualquer valor de x. Portanto,
R = infty

Passo 5

O intervalo de convergência é todo o eixo real:
(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência: R=infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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