Para que valor(es) de k, se houver, o sistema terá (a) nenhuma solução, (b) uma única solução e (c) infinitas soluções?
x+k y=1
k x+y=1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de duas equações lineares em x\) e \(y\), com parâmetro \(k\): \[\begin{cases} x + k\,y = 1,\\\ k\,x + y = 1.
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear (2\times 2] usando determinante da matriz de coeficientes. Vamos calcular o determinante para decidir quantas soluções o sistema tem.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = \begin{pmatrix}1 & k\\[4pt]k & 1\end{pmatrix},
cujo determinante vale
\Delta = \det(A) = 1\cdot1 - k\cdot k = 1 - k^2.
Pelo Teorema de Cramer, se \Delta \neq 0 (isto é, k^2\neq 1), o sistema tem exatamente uma solução.]

Passo 3

O caso \Delta=0 ocorre quando k^2=1, isto é, k=1 ou k=-1.
Para k=1, as equações ficam
x + y = 1, \quad x + y = 1,
que são a mesma reta. Logo, há infinitas soluções (qualquer par (x,y) com x+y=1).

Passo 4

Para k=-1, as equações ficam
x - y = 1, \quad -\,x + y = 1.
Multiplicando a segunda por -1 x - y = -1, em contradição com x - y = 1. Logo, o sistema é incompatível e não tem solução.

Resposta

(a) nenhuma solução para k = -1.
(b) uma única solução para k \neq \pm 1.
(c) infinitas soluções para k = 1.

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