Seja o conjunto R^2=(x, y) mid x, y in R. Mostre que R^2 não é um espaço vetorial com as operações assim definidas:
(x, y)+(z, w) & =(x+z, y+w), alpha(x, y) & =(alpha x, y)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto R^2 com a soma usual
(x,y)+(z,w)=(x+z,y+w)
e a multiplicação por escalar “estranha”
alpha,(x,y)=(alpha x,,y)
O conteúdo é teoria de espaço vetorial: para mostrar que não é espaço vetorial basta encontrar um axioma que falhe.

Passo 2

Um dos axiomas de espaço vetorial exige que o escalar zero atue sobre qualquer vetor produzindo o vetor nulo do espaço.
Recapitulando: o vetor nulo em R^2 (com a soma usual) é
0=(0,0),
e o axioma diz
0,(x,y)=0 para todo (x,y)inR^2

Passo 3

Vamos calcular 0,(x,y) usando a definição dada:
0,(x,y)=(0cdot x,,y)=(0,y)
Para que isso fosse sempre o vetor nulo (0,0), precisaríamos ter (0,y)=(0,0) para todo y. Mas isso só ocorre se y=0. Logo, em geral
0,(x,y)=(0,y)neq(0,0)

Resposta

Como o escalar zero não envia todo vetor em R^2 no vetor nulo, o axioma correspondente falha. Portanto R^2 com essas operações não é um espaço vetorial.

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