Seja o conjunto
. Mostre que
não é um espaço vetorial com as operações assim definidas:
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com a soma usual
e a multiplicação por escalar “estranha”
O conteúdo é teoria de espaço vetorial: para mostrar que não é espaço vetorial basta encontrar um axioma que falhe.
Passo 2
Um dos axiomas de espaço vetorial exige que o escalar zero atue sobre qualquer vetor produzindo o vetor nulo do espaço.
Recapitulando: o vetor nulo em (com a soma usual) é
Recapitulando: o vetor nulo em
e o axioma diz
Passo 3
Vamos calcular
usando a definição dada:
Para que isso fosse sempre o vetor nulo
, precisaríamos ter
para todo
. Mas isso só ocorre se
. Logo, em geral
Resposta
Como o escalar zero não envia todo vetor em
no vetor nulo, o axioma correspondente falha. Portanto
com essas operações não é um espaço vetorial.