Verifique se os subconjuntos e , abaixo, são subespaços vetoriais de : .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = a & b c & din M(2,2),|,b = c + 1
é um subespaço vetorial de M(2,2).
Para isso vamos usar a definição: um subconjunto V de um espaço vetorial é subespaço se e somente se
o vetor zero está em V,
V é fechado sob soma,
V é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação do vetor zero. O vetor zero em M(2,2) é
0 = 0 & 00 & 0
Para que 0in W precisaria ocorrer b= c+1. Mas aqui b=0 e c=0, e
0 ;neq; 0 + 1
Logo 0notin W.
Passo 3
Mesmo sem checar fechamento em soma ou escalar, a falha em conter o vetor zero já impede ser subespaço. Para ilustrar que outras propriedades também falham, considere
A = 0 & 10 & 0in W, B = 0 & 21 & 0in W,
pois em ambos b = c+1. A soma é
A + B = 0 & 31 & 0,
e aí b=3, c=1 e 3 neq 1+1, ou seja, A+Bnotin W. Portanto não há fechamento sob soma.