Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
tal que
.
Passo 1
O enunciado define uma função
que associa a cada polinômio o vetor
que associa a cada polinômio
O conteúdo aqui é Transformações Lineares em espaços vetoriais. Para mostrar que
é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer polinômios
e
e escalar
:
- Aditividade:
. - Homogeneidade:
.
Passo 2
Verificação da aditividade:
O somatório dos polinômios é
O somatório dos polinômios é
portanto
Reagrupando termos,
logo
Passo 3
Verificação da homogeneidade:
O polinômio escalado é
.
Aplicando ,
O polinômio escalado é
Aplicando