Verifique se as funções abaixo, são ou não são transformações lineares, justificando:
F_{7}: P_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que F_{7}\left(a t^{2}+b t+c\right)=(a+b, b-2 c).

Passo 1

O enunciado define uma função
\displaystyle F_{7}\colon P_{2}\to\mathbb{R}^{2}
que associa a cada polinômio p(t)=a\,t^{2}+b\,t+c o vetor
F_{7}(p) = (\,a+b,\;b-2c\,).
O conteúdo aqui é Transformações Lineares em espaços vetoriais. Para mostrar que F_{7} é linear, precisamos verificar duas propriedades para quaisquer polinômios
\displaystyle p(t)=a\,t^{2}+b\,t+c e q(t)=a' t^{2}+b' t+c' e escalar \lambda\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: F_{7}(p+q)=F_{7}(p)+F_{7}(q).
  2. Homogeneidade: F_{7}(\lambda\,p)=\lambda\,F_{7}(p).

Passo 2

Verificação da aditividade:
O somatório dos polinômios é
(p+q)(t)=(a+a')\,t^{2}+(b+b')\,t+(c+c'),
portanto
F_{7}(p+q) = \bigl((a+a')+(b+b'),\;(b+b')-2(c+c')\bigr).
Reagrupando termos,
(a+a')+(b+b')=(a+b)+(a'+b'),\quad (b+b')-2(c+c')=(b-2c)+(b'-2c'),
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F_{7}(p+q) =(a+b,a'-2c)+(a'+b',b'-2c') =F_{7}(p)+F_{7}(q).

Passo 3

Verificação da homogeneidade:
O polinômio escalado é
\displaystyle (\lambda p)(t)=\lambda a\,t^{2}+\lambda b\,t+\lambda c.
Aplicando F_{7},
F_{7}(\lambda p) =\bigl(\lambda a+\lambda b,\;\lambda b-2\,\lambda c\bigr) =\lambda\,(a+b,\;b-2c) =\lambda\,F_{7}(p).

Resposta

F_{7} satisfaz aditividade e homogeneidade, portanto é uma transformação linear.

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