EXEMPO: Determine a natureza da Série, se converge ou diverge.
sumn=1^infty 4^n+2^n-13^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty4^n+2^n-13^n
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, o critério de convergência para séries geométricas, que diz que
sumn=1^inftyr^n
converge se, e somente se, |r|<1.

Passo 2

Vamos separar o termo geral em duas parcelas:
4^n+2^n-13^n =4^n3^n+2^n-13^n =l(43r)^n+12,l(23r)^n
Logo a série original se decompõe como
sumn=1^infty4^n+2^n-13^n =sumn=1^inftyl(43r)^n +12sumn=1^inftyl(23r)^n

Passo 3

Analisamos cada soma geometrica:
- Para sum(tfrac43)^n, a razão é r1=tfrac43. Como lvert r1rvert=tfrac43>1, esta série geométrica dá diverge.
- Para sum(tfrac23)^n, a razão é r2=tfrac23. Como lvert r2rvert=tfrac23<1, esta série geométrica converge.

Passo 4

Uma soma de séries em que uma delas diverge faz com que a soma total também diverja. Portanto a série
sumn=1^infty4^n+2^n-13^n
diverge.

Resposta

A série diverge.

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