A série sumn=1^infty[(-6)^3-n8^n-2+34^n+1 5^1-n] é convergente ou divergente? Caso, seja convergente calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado fornece a série
sumn=1^inftyl[(-6)^3-n8^,n-2+34^,n+1,5^,1-nr]
e pede para decidir se ela é convergente e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Vamos usar conceitos de séries geométricas: separar a soma em duas séries, identificar o termo geral como a,r^n-1 (ou equivalente), verificar lvert rrvert<1 e, se convergente, aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Separe a série em
S1=sumn=1^infty(-6)^3-n8^,n-2 e S2=sumn=1^infty34^,n+1,5^,1-n
Em seguida, simplifique o termo geral de cada uma para colocá-las na forma de progressão geométrica.

Passo 3

Para S1:
(-6)^3-n8^,n-2 =(-6)^3;(-6)^-n8^n/8^2 =-216cdot64;1(-6)^n,8^n =-13824;1(-1)^n,48^n =13824;(-1)^n+148^n
Logo
S1 =13824sumn=1^infty(-1)^n+148^n
Isto é uma PG de primeiro termo
a=13824cdot(-1)^248^1=13824cdot148=288
e razão
r=-148, |r|<1
Portanto
S1=a1-r =2881+1/48 =28849/48 =288cdot4849 =1382449

Passo 4

Para S2:
34^,n+15^,1-n =34^ncdot4,5^n5 =320l(54r)^n
Isso é uma PG com razão
r=54>1. Como |r|>1, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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