Exerc. 10) Uma bomba hidráulica de fluxo radial, com 11 pás, e rendimentos mecânico e total iguais a \eta_{m}=0,95 e \eta_{t}=0,72, respectivamente, possui os dados na entrada e na saída providos na tabela abaixo.
Entrada Saída
Altura da pá 31,9[\mathrm{~mm}] 19[\mathrm{~mm}]
Diâmetro do rotor 178[\mathrm{~mm}] 381[\mathrm{~mm}]
Ângulo construtivo 18^{\circ} 20^{\circ}
Coeficiente de contração (\nu, correção da vazão ) 0,9 0,9
Deseja-se acoplar esta bomba a motores elétricos de 1150 e 1750[\mathrm{rpm}]. Pede-se, para estas duas rotações:
a) Determine os valores da vazão e da altura disponível;
b) Esboçar os triângulos de velocidades em uma escala definida (exemplo: x[m m]=>y[m / s] );
A bomba não possui aletas direcionais após o rotor.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada uma das rotações 1150\,[\mathrm{rpm}] e 1750\,[\mathrm{rpm}]: (a) determinar a vazão e a altura disponível e (b) esboçar (dar os dados para esboçar) os triângulos de velocidade.
Dados fornecidos (peguei todos da tabela do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Altura da pá (entrada): } b_1=31{,}9\,[\mathrm{mm}]=0{,}0319\,[\mathrm{m}],\\\ &\text{Altura da pá (saída): } b_2=19\,[\mathrm{mm}]=0{,}019\,[\mathrm{m}],\\\ &\text{Diâmetro do rotor (entrada): } D_1=178\,[\mathrm{mm}]=0{,}178\,[\mathrm{m}],\quad r_1=\tfrac{D_1}{2}=0{,}089\,[\mathrm{m}],\\\ &\text{Diâmetro do rotor (saída): } D_2=381\,[\mathrm{mm}]=0{,}381\,[\mathrm{m}],\quad r_2=\tfrac{D_2}{2}=0{,}1905\,[\mathrm{m}],\\\ &\text{Ângulo construtivo (entrada): } \beta_1=18^\circ,\\\ &\text{Ângulo construtivo (saída): } \beta_2=20^\circ,\\\ &\text{Coeficiente de contração (vazão): } \nu=0{,}9,\\\ &\text{Rendimentos: } \eta_m=0{,}95,\quad \eta_t=0{,}72.\\\ \end{aligned}ááíââíÂÂíçãã
Notas importantes (não é resolução ainda): a bomba não tem aletas direcionais após o rotor (conforme enunciado). Vou usar estas informações nas etapas seguintes.

Passo 2

Definição das variáveis físicas e hipóteses que vamos usar (explico o porquê):
  • n é a rotação do rotor em [\mathrm{rpm}]. Teremos n=1150 e n=1750.
  • U=\omega r é a velocidade periférica (ou tangencial) da pá no raio considerado, onde \omega=2\pi n/60. Assim
U=\frac{2\pi n r}{60}.
Explico: n em rpm precisa ser convertido para rad/s via 2\pi n/60. Multiplicando pelo raio obtemos a velocidade tangencial do bordo.
  • V_m é a componente meridional (ou axial/radial, segundo o caso) da velocidade absoluta do fluido na seção da pá; é a componente responsável pela vazão.
  • V_u é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido.
  • W é a velocidade relativa (em relação à pá); suas componentes são W_m=V_m e W_u=U-V_u. A relação geométrica entre estas componentes e o ângulo da pá \beta é
\tan\beta=\frac{V_m}{U-V_u}.
Explico: \beta é o ângulo da pá visto do ponto de vista relativo; se conhecemos dois dos termos podemos achar o terceiro.
  • Pressupostos usados (explico por que são razoáveis aqui):
    1. Admitimos ausência de pré-giro na entrada: V_{u1}=0. Isso é uma hipótese comum quando o fluido chega ao olho do rotor sem aletas que imprimam rotação prévia. O enunciado não menciona pré-giro, então essa hipótese é a mais simples e usual.
    2. Aplicamos o coeficiente de contração \nu multiplicando a área geométrica efetiva para obter a vazão real: Q=\nu A V_m.
    3. A equação de Euler para máquinas turbomáquina (energia teórica por unidade de peso) vale:
H_{\text{teo}}=\frac{U_2\,V_{u2}-U_1\,V_{u1}}{g}.
Explico: esta fórmula dá a altura (energia por unidade de peso) transferida ao fluido pela variação do termo U V_u entre saída e entrada.
4. Para obter a altura efetiva disponível na bomba (considerando perdas internas) usamos a eficiência hidráulica \eta_h. Sabendo \eta_m (mecânica) e \eta_t (total), calculamos
\eta_h=\frac{\eta_t}{\eta_m},
pois \eta_t=\eta_h\cdot\eta_m. A altura útil final é
H=\eta_h\,H_{\text{teo}}.
Explico: H_{\text{teo}} é o que a geometria entrega idealmente; a eficiência hidráulica reduz isso para o valor real disponível.

Passo 3

Fórmulas de continuidade e as equações que vamos manipular (aula curta):
  • Área anular útil na seção consideramos como área aproximada ao produto da circunferência pelo vão da pá:
A=2\pi r b.
Explico: o fluido passa por uma “garganta” cuja largura radial/axial é b e comprimento circumferencial é 2\pi r.
  • Vazão real com coeficiente de contração \nu:
Q=\nu\,A\,V_m=\nu\,2\pi r b\,V_m.
  • Relação entre \beta_1 e V_{m1} na entrada, assumindo V_{u1}=0:
\tan\beta_1=\frac{V_{m1}}{U_1}\quad\Rightarrow\quad V_{m1}=U_1\tan\beta_1.
Daí a vazão pode ser obtida diretamente usando a seção de entrada:
Q=\nu\,2\pi r_1 b_1 (U_1\tan\beta_1).
Explico: isto é prático porque temos r_1,b_1,\beta_1 e U_1 calculável a partir de n.
  • Na saída, a mesma vazão fornece V_{m2} por continuidade:
V_{m2}=\frac{Q}{\nu\,2\pi r_2 b_2}.
  • Relação para obter V_{u2} a partir de \beta_2 e V_{m2}:
\tan\beta_2=\frac{V_{m2}}{U_2-V_{u2}}\quad\Rightarrow\quad V_{u2}=U_2-V_{m2}\cot\beta_2.
  • Finalmente, altura teórica e disponível:
H_{\text{teo}}=\frac{U_2 V_{u2}-U_1 V_{u1}}{g}=\frac{U_2 V_{u2}}{g}\quad\text{(pois \(V_{u1}=0\))}, \qquad H=\eta_h\,H_{\text{teo}},\quad \eta_h=\frac{\eta_t}{\eta_m}.

Passo 4

Calculemos constantes numéricas que usaremos em todas as rotações: área geométrica das seções (valores numéricos):
\begin{aligned} A_1&=2\pi r_1 b_1=2\pi(0{,}089)(0{,}0319)=0{,}01784\;[\mathrm{m^2}],\\\ A_2&=2\pi r_2 b_2=2\pi(0{,}1905)(0{,}019)=0{,}02275\;[\mathrm{m^2}]. \end{aligned}
Efetiva (com \nu):
\nu A_1=0{,}9\cdot0{,}01784=0{,}016056\;[\mathrm{m^2}],\qquad \nu A_2=0{,}9\cdot0{,}02275=0{,}020475\;[\mathrm{m^2}].
Eficiência hidráulica:
\eta_h=\frac{\eta_t}{\eta_m}=\frac{0{,}72}{0{,}95}=0{,}7578947\approx0{,}7579.
Constante gravidade: g=9{,}81\;[\mathrm{m/s^2}].

Passo 5

Cálculos para n=1150\,[\mathrm{rpm}] — passo a passo didático:
  1. Calcular U_1 e U_2:
U_1=\frac{2\pi n r_1}{60}=\frac{2\pi\cdot1150\cdot0{,}089}{60}=10{,}72\;[\mathrm{m/s}],
U_2=\frac{2\pi n r_2}{60}=\frac{2\pi\cdot1150\cdot0{,}1905}{60}=22{,}94\;[\mathrm{m/s}].
(Comentário: calculei 2\pi n/60 e multipliquei pelo raio.)
  1. Calcular V_{m1} pela relação com \beta_1:
V_{m1}=U_1\tan\beta_1=10{,}72\cdot\tan(18^\circ)=10{,}72\cdot0{,}324=3{,}474\;[\mathrm{m/s}].
(Expliquei: \tan18^\circ\approx0{,}324.)
  1. Vazão Q usando a área de entrada:
Q=\nu\,A_1\,V_{m1}=0{,}016056\cdot3{,}474=0{,}05578\;[\mathrm{m^3/s}].
Convertendo: Q\approx0{,}05578\,[\mathrm{m^3/s}]=55{,}78\,[\mathrm{L/s}].
  1. Meridional na saída V_{m2} por continuidade:
V_{m2}=\frac{Q}{\nu A_2}=\frac{0{,}05578}{0{,}020475}=2{,}724\;[\mathrm{m/s}].
  1. Calcular V_{u2} a partir de \beta_2:
V_{u2}=U_2-V_{m2}\cot\beta_2=22{,}94-2{,}724\cdot\cot(20^\circ).
Como \cot20^\circ\approx2{,}7475:
V_{u2}=22{,}94-2{,}724\cdot2{,}7475=22{,}94-7{,}487=15{,}453\;[\mathrm{m/s}].
  1. Altura teórica e altura disponível:
H_{\text{teo}}=\frac{U_2 V_{u2}}{g}=\frac{22{,}94\cdot15{,}453}{9{,}81}=36{,}15\;[\mathrm{m}],
H=\eta_h H_{\text{teo}}=0{,}7579\cdot36{,}15=27{,}41\;[\mathrm{m}].
  1. Valores para os triângulos de velocidade (usaremos estes para esboçar):
  • Entrada (seção 1): U_1=10{,}72\;,\quad V_{m1}=3{,}474\;,\quad V_{u1}=0\;.Relativa: W_{u1}=U_1-V_{u1}=10{,}72\;,\quad |W_1|=\sqrt{U_1^2+V_{m1}^2}=11{,}27\;[\mathrm{m/s}].
  • Saída (seção 2): U_2=22{,}94\;,\quad V_{m2}=2{,}724\;,\quad V_{u2}=15{,}453\;,
W_{u2}=U_2-V_{u2}=7{,}487\;,\quad |W_2|=\sqrt{W_{u2}^2+V_{m2}^2}=7{,}97\;[\mathrm{m/s}].

Passo 6

Cálculos para n=1750\,[\mathrm{rpm}] — passo a passo didático (mesma sequência):
  1. Calcular U_1 e U_2:
U_1=\frac{2\pi\cdot1750\cdot0{,}089}{60}=16{,}31\;[\mathrm{m/s}],
U_2=\frac{2\pi\cdot1750\cdot0{,}1905}{60}=34{,}91\;[\mathrm{m/s}].
  1. V_{m1} pela relação com \beta_1:
V_{m1}=U_1\tan\beta_1=16{,}31\cdot0{,}324=5{,}286\;[\mathrm{m/s}].
  1. Vazão Q:
Q=\nu A_1 V_{m1}=0{,}016056\cdot5{,}286=0{,}08491\;[\mathrm{m^3/s}]=84{,}91\;[\mathrm{L/s}].
  1. V_{m2} por continuidade:
V_{m2}=\frac{Q}{\nu A_2}=\frac{0{,}08491}{0{,}020475}=4{,}149\;[\mathrm{m/s}].
  1. V_{u2} a partir de \beta_2:
V_{u2}=U_2-V_{m2}\cot\beta_2=34{,}91-4{,}149\cdot2{,}7475=34{,}91-11{,}396=23{,}514\;[\mathrm{m/s}].
  1. Altura teórica e altura disponível:
H_{\text{teo}}=\frac{U_2 V_{u2}}{g}=\frac{34{,}91\cdot23{,}514}{9{,}81}=83{,}72\;[\mathrm{m}],
H=\eta_h H_{\text{teo}}=0{,}7579\cdot83{,}72=63{,}42\;[\mathrm{m}].
  1. Valores para os triângulos de velocidade (dados para esboçar):
  • Entrada (seção 1): U_1=16{,}31\;,\quad V_{m1}=5{,}286\;,\quad V_{u1}=0\;,
W_{u1}=16{,}31\;,\quad |W_1|=\sqrt{16{,}31^2+5{,}286^2}=17{,}15\;[\mathrm{m/s}].
  • Saída (seção 2): U_2=34{,}91\;,\quad V_{m2}=4{,}149\;,\quad V_{u2}=23{,}514\;,
W_{u2}=U_2-V_{u2}=11{,}396\;,\quad |W_2|=\sqrt{11{,}396^2+4{,}149^2}=12{,}12\;[\mathrm{m/s}].

Passo 7

Como esboçar os triângulos (instruções passo-a-passo e escala prática — eu recomendo e uso aqui uma escala simples para você desenhar à mão):
  • Escolha a escala: por exemplo, 1\;[\mathrm{mm}]\leftrightarrow1\;[\mathrm{m/s}]. É uma boa escala porque os comprimentos ficam em dezenas de mm (fáceis de desenhar). Você pode ajustar (ex.: 1\,[\mathrm{mm}]\leftrightarrow2\,[\mathrm{m/s}]) se quiser economizar espaço.
  • Convenção de desenho (vetores em componentes): use eixo horizontal para a componente tangencial (direção de U, positiva para a direita) e eixo vertical para a componente meridional (positiva para cima).
  • Para a entrada (seção 1), desenhe:
    1. O vetor U_1 horizontal para a direita com comprimento U_1 na escala escolhida.
    2. O vetor V_1 (absoluto) como um vetor vertical para cima de comprimento V_{m1} (aqui V_{u1}=0 então V_1 é vertical).
    3. O vetor relativo W_1 é o vetor que vai da ponta de U_1 até a ponta de V_1 (porque W=V-U). Assim obtemos o triângulo (U, W, V). O ângulo entre W_1 e o eixo tangencial será \beta_1\approx18^\circ.
  • Para a saída (seção 2), desenhe:
    1. O vetor U_2 horizontal para a direita com comprimento U_2.
    2. O vetor absoluto V_2 com componente tangencial V_{u2} (para a direita) e componente meridional V_{m2} (para cima). Assim desenhe primeiro V_{u2} na horizontal e depois suba V_{m2} para obter a ponta do vetor V_2.
    3. O vetor relativo W_2 será a diferença W_2=V_2-U_2 (ou seja, o vetor que vai da ponta de U_2 até a ponta de V_2). O ângulo entre W_2 e o eixo tangencial é \beta_2\approx20^\circ.
  • Use as magnitudes numéricas obtidas nos Passos 5 e 6; por exemplo para n=1150: desenhe U_2=22{,}94 mm, V_{u2}=15{,}45 mm, V_{m2}=2{,}724 mm etc (na escala 1\;\mathrm{mm}\leftrightarrow1\;\mathrm{m/s}). Marque os comprimentos e os ângulos para conferência.
  • Observação final: como não há aletas direcionais após o rotor, o fluxo sai com componente tangencial significativa ( V_{u2}\neq0) — isso aparece claramente no triângulo de saída.

Resposta

Para n=1150\,[\mathrm{rpm}]: Q=0{,}05578\;[\mathrm{m^3/s}] \;=\;55{,}78\;[\mathrm{L/s}], H=27{,}41\;[\mathrm{m}].
Para n=1150: triângulos — entrada: U_1=10{,}72\;,\;V_{m1}=3{,}474\;,\;V_{u1}=0\;,\;|W_1|=11{,}27. Saída: U_2=22{,}94\;,\;V_{m2}=2{,}724\;,\;V_{u2}=15{,}453\;,\;|W_2|=7{,}97. (Escala sugerida: 1\;[\mathrm{mm}]\leftrightarrow1\;[\mathrm{m/s}].)
Para n=1750\,[\mathrm{rpm}]: Q=0{,}08491\;[\mathrm{m^3/s}] \;=\;84{,}91\;[\mathrm{L/s}], H=63{,}42\;[\mathrm{m}].
Para n=1750: triângulos — entrada: U_1=16{,}31\;,\;V_{m1}=5{,}286\;,\;V_{u1}=0\;,\;|W_1|=17{,}15. Saída: U_2=34{,}91\;,\;V_{m2}=4{,}149\;,\;V_{u2}=23{,}514\;,\;|W_2|=12{,}12. (Escala sugerida: 1\;[\mathrm{mm}]\leftrightarrow1\;[\mathrm{m/s}].)

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