Exerc. 6) Uma bomba centrífuga opera com uma rotação de 1750[\mathrm{rpm}], fornecendo uma vazão de 318\left[\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}\right]. O rotor apresenta um diâmetro externo igual a 356[\mathrm{~mm}] e um diâmetro interno de 97[\mathrm{~mm}]. A altura da pá na entrada e saída é igual a 50[\mathrm{~mm}]. O ângulo construtivo da pá na entrada é 33^{\circ} e na saída é igual a 23^{\circ}. Considere que o fluido entra no rotor radialmente. Determine a altura teórica para um número infinito de pás.
Resp: H_{t h \infty} \approx 100[m]

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a altura teórica para número infinito de pás:
  • Rotação: n=1750\,[\mathrm{rpm}].
  • Vazão: Q=318\left[\mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}\right].
  • Diâmetro externo do rotor: D_2=356\,[\mathrm{mm}].
  • Diâmetro interno do rotor: D_1=97\,[\mathrm{mm}].
  • Altura da pá na entrada e na saída: b_1=b_2=50\,[\mathrm{mm}].
  • Ângulo construtivo da pá na entrada: \beta_1=33^\circ (não será necessário porque a entrada é radial).
  • Ângulo construtivo da pá na saída: \beta_2=23^\circ.
  • Condição importante: o fluido entra no rotor radialmente, ou seja, a componente tangencial absoluta na entrada é nula: V_{u1}=0.
O que se pede: calcular a altura teórica H_{th,\infty} para número infinito de pás (caso sem deslizamento entre fluido e pás).

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar (aulas rápidas):
  • A equação de Euler para turbomáquinas relaciona a altura (energia por unidade de peso) produzida com as velocidades na periferia:
g\,H_{th} = U_2\,V_{u2} - U_1\,V_{u1},
onde:
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81\\ \mathrm{m/s^2});
  • U=r\omega é a velocidade periférica da pá (componente tangencial do movimento sólido), em que r é o raio e \omega é a velocidade angular;
  • V_{u} é a componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta do fluido;
  • os índices 1 e 2 referem-se à entrada (interno) e saída (externo) do rotor.
  • Como o fluido entra radialmente, temos V_{u1}=0. Assim:
g\,H_{th} = U_2\,V_{u2}.
  • Para número infinito de pás (sem deslizamento) o fluxo relativo sai alinhado com a pá na saída, ou seja, a velocidade relativa \mathbf{W}_2 forma o ângulo construtivo \beta_2 com a tangente. Pela composição vetorial das velocidades, a relação geométrica entre as componentes é:
\tan\beta_2=\frac{V_{r2}}{U_2-V_{u2}}.
Isolando V_{u2} obtemos
V_{u2}=U_2-\frac{V_{r2}}{\tan\beta_2}.
Explico: V_{r2} é a componente radial absoluta na saída; U_2-V_{u2} é a componente tangencial da velocidade relativa (na direção da pá). Essa é a forma apropriada de usar o ângulo \beta_2 quando a lâmina faz o fluido “recuar” na direção tangencial.

Passo 3

Converter unidades e calcular a vazão em \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{318}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0,088333\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Calcular raios e velocidade periférica na saída:
  • Raios:
r_2=\frac{D_2}{2}=\frac{0,356}{2}=0,178\\ \mathrm{m},
r_1=\frac{D_1}{2}=\frac{0,097}{2}=0,0485\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade angular:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{1750}{60}\\ \mathrm{rad/s}\approx 183,26\\ \mathrm{rad/s}.
  • Velocidade periférica na saída:
U_2 = \omega r_2 \approx 183,26\times 0,178 \approx 32,62\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a componente radial absoluta na saída V_{r2} usando continuidade (assumindo velocidade radial uniforme na seção anular àquela posição):
A área de escoamento na periferia (circunferência de raio r_2 vezes altura b_2) é A_2=2\pi r_2 b_2. Logo:
V_{r2}=\frac{Q}{2\pi r_2 b_2}.
Substituindo Q=0,088333\\ \mathrm{m^3/s}, r_2=0,178\\ \mathrm{m} e b_2=0,05\\ \mathrm{m}:
V_{r2}\approx\frac{0,088333}{2\pi\cdot 0,178\cdot 0,05}\approx 1,58\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Usar a relação geométrica com o ângulo da pá na saída para obter V_{u2}. Primeiro calcular \tan\beta_2:
\tan\beta_2=\tan(23^\circ)\approx 0,4245.
Aplicando
V_{u2}=U_2-\frac{V_{r2}}{\tan\beta_2},
temos
V_{u2}\approx 32,62-\frac{1,58}{0,4245}\approx 32,62-3,72\approx 28,90\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a altura teórica pela equação de Euler:
gH_{th}=U_2\,V_{u2}\quad\Rightarrow\quad H_{th}=\frac{U_2\,V_{u2}}{g}.
Substituindo U_2\approx 32,62\\ \mathrm{m/s}, V_{u2}\approx 28,90\\ \mathrm{m/s} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}:
H_{th}\approx\frac{32,62\times 28,90}{9,81}\approx\frac{942,5}{9,81}\approx 96,1\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Breve interpretação / checagem: o valor calculado \approx 96,1\\ \mathrm{m} é da mesma ordem do valor indicado no enunciado ( \approx 100\\ \mathrm{m}). Diferenças pequenas podem vir de aproximações (arredondamentos, distribuição real da velocidade radial sobre a seção, uso de g com ligeira diferença, interpretação do ângulo, etc.). Para a prova, o procedimento é o importante: usar continuidade para V_{r2}, relação geométrica com \beta_2 e a fórmula de Euler.

Resposta

H_{th,\infty}\approx 96{,}1\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados