Exerc. 8) Uma instalação com bomba hidráulica radial destinada a bombear 0,124\left[\frac{\mathrm{~m}^{3}}{\mathrm{~s}}\right], apresenta uma altura teórica \left(H_{t h}\right) igual a 62,61[\mathrm{~m}]. Considere o \Delta P_{f l}=1,85. Calcule a rotação da bomba para desenvolver estas grandezas de funcionamento conhecendo-se os seguintes dados do rotor:
a) Entrada do rotor: diâmetro de 200[\mathrm{~mm}] e altura da pá de 40[\mathrm{~mm}];
b) saída do rotor: diâmetro de 400[\mathrm{~mm}] e altura da pá de 18[\mathrm{~mm}];
c) ângulo construtivo na saída: 24^{\circ};
d) Calcule um valor para o número Z de palhetas.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (vou listar com calma para a gente não se perder):
  • Vazão: \displaystyle Q=0{,}124\left[\frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{s}}\right].
  • Altura teórica (fornecida): \displaystyle H_{th}=62{,}61\,[\mathrm{m}].
  • Foi dado um parâmetro \displaystyle \Delta P_{fl}=1{,}85 (o enunciado não informa unidades nem explica o que é exatamente — pode ser uma correção empírica, fator de perdas, fator de escorregamento, etc.). Eu não tenho certeza do significado preciso desse \displaystyle \Delta P_{fl}; se for um fator conhecido (por ex. fator de perda em metros) ele deveria ser usado diretamente subtraindo de H_{th} ou multiplicando um coeficiente relacionado; se for o fator de escorregamento (normalmente denotado por \sigma), seu valor costuma ser menor que 1, não 1{,}85. Como o enunciado não explica, na resolução abaixo vou primeiro resolver usando os conceitos padrão (Euler, triângulos de velocidades) e depois comentar como \Delta P_{fl} entraria caso soubéssemos o seu significado.
  • Geometria do rotor:
    • Entrada (índice 1): diâmetro \displaystyle D_1=200\,[\mathrm{mm}]=0{,}200\,[\mathrm{m}], altura da pá \displaystyle b_1=40\,[\mathrm{mm}]=0{,}040\,[\mathrm{m}].
    • Saída (índice 2): diâmetro \displaystyle D_2=400\,[\mathrm{mm}]=0{,}400\,[\mathrm{m}], altura da pá \displaystyle b_2=18\,[\mathrm{mm}]=0{,}018\,[\mathrm{m}].
    • Ângulo construtivo (saída): \displaystyle \beta_2=24^\circ.
  • O que se pede: calcular a rotação da bomba (n) necessária para obter a vazão e a altura teórica dadas e calcular um valor para o número de palhetas Z.

Passo 2

Teoria básica que vamos usar (explicando devagar e intuitivamente):
  • A equação de Euler para máquinas rotativas (bomba/impulsor) dá a altura teórica produzida em função das velocidades tangenciais e dos componentes tangenciais das velocidades absolutas nas seções 1 e 2:
H_{th}=\frac{1}{g}\bigl(U_2\,V_{u2}-U_1\,V_{u1}\bigr).
Expliquei as variáveis:
  • \displaystyle g é a aceleração da gravidade ( \displaystyle g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}).
  • \displaystyle U_i é a velocidade periférica do rotor na seção i: \displaystyle U_i=\omega r_i = 2\pi n r_i, com n em \mathrm{rev/s} e r_i o raio (metade do diâmetro).
  • \displaystyle V_{ui} é a componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta do fluido na seção i.
    Essa equação diz, em palavras simples: a bomba adiciona ao fluido a variação do momento angular por unidade de massa, convertida em altura (energia por peso).

Passo 3

Hipóteses e simplificações razoáveis (que são usuais em provas e exercícios):
  • Em muitas bombas centrífugas de sucção centrada, supõe-se ausência de pré-giros na entrada (no olho do rotor), isto é \displaystyle V_{u1}\approx 0. Vou adotar isso, o que simplifica a equação para:
H_{th}=\frac{U_2\,V_{u2}}{g}.
  • O escoamento meridional (componente que atravessa a altura da pá) em cada seção chamamos de \displaystyle V_{m}. Para uma seção anular cilíndrica aproximamos a continuidade por:
Q = 2\pi r\, b\, V_m,
onde \displaystyle r é o raio da seção e \displaystyle b a altura da pá nessa seção. Essa relação diz: vazão = área meridional (perímetro × altura) × velocidade meridional.
  • Na saída o escoamento relativo \displaystyle \mathbf{W}_2 é aproximadamente alinhado com a pá (ângulo construtivo \beta_2). Pelo triângulo das velocidades, tomando \beta_2 como o ângulo entre a tangente e a pá (convenção usual), vale:
\tan\beta_2=\frac{V_{m2}}{U_2-V_{u2}}.
Dessa relação podemos isolar V_{u2} em função de U_2 e V_{m2}.

Passo 4

Calcular a velocidade meridional na saída \displaystyle V_{m2} a partir da continuidade (faça igualzinho na prova):
  • Raio de saída: \displaystyle r_2=\frac{D_2}{2}=\frac{0{,}400}{2}=0{,}200\\ \mathrm{m}.
  • Área meridional (circunferência vezes altura): \displaystyle 2\pi r_2 b_2. Então
V_{m2}=\frac{Q}{2\pi r_2 b_2}.
Agora substituímos os números (mostro a conta passo a passo):
2\pi r_2 b_2 = 2\pi\cdot 0{,}200\cdot 0{,}018.
Calcule isso:
2\pi r_2 b_2 \approx 0{,}022619467\\ \mathrm{m^2}.
Então
V_{m2}=\frac{0{,}124}{0{,}022619467}\approx 5{,}482\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Expressar V_{u2} em função de U_2 usando o ângulo \beta_2:
Da relação do triângulo de velocidades
\tan\beta_2=\frac{V_{m2}}{U_2-V_{u2}}
isolamos V_{u2}:
U_2-V_{u2}=\frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}\quad\Rightarrow\quad V_{u2}=U_2-\frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}.
Isto é intuitivo: a componente tangencial absoluta do fluido na saída é a diferença entre a velocidade periférica do rotor e a componente tangencial do escoamento relativo alinhado com a pá.

Passo 6

Substituir V_{u2} na equação de Euler e montar a equação em U_2:
A equação (com V_{u1}=0) era
H_{th}=\frac{U_2\,V_{u2}}{g}.
Substituindo V_{u2}=U_2-\dfrac{V_{m2}}{\tan\beta_2} obtemos
H_{th}=\frac{U_2}{g}\left(U_2-\frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}\right).
Multiplicando por g e reorganizando:
U_2^2-\frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}\,U_2 - g\,H_{th}=0.
É uma equação quadrática em U_2.

Passo 7

Colocar valores numéricos na quadrática e resolver (vou calcular com precisão suficiente para a prova):
  • Primeiro calcule \tan\beta_2 com \beta_2=24^\circ:
\tan 24^\circ \approx 0{,}4452287.
  • Já temos V_{m2}\approx 5{,}482\\ \mathrm{m/s}. Então
\frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}\approx\frac{5{,}482}{0{,}4452287}\approx 12{,}317\\ \mathrm{m/s}.
  • Produto gH_{th}:
gH_{th}=9{,}81\cdot 62{,}61 \approx 614{,}2041\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
A equação fica
U_2^2 - 12{,}317\,U_2 - 614{,}2041 = 0.
Resolver pela fórmula de Bhaskara:
U_2=\frac{12{,}317 \pm \sqrt{12{,}317^2 + 4\cdot 614{,}2041}}{2}.
Calcule o discriminante:
12{,}317^2 \approx 151{,}706,\qquad 4\cdot 614{,}2041\approx 2{,}456{,}8164,
\Delta \approx 2{,}608{,}5224,\qquad \sqrt{\Delta}\approx 51{,}0736.
Selecionamos a raiz positiva (velocidade periférica não pode ser negativa):
U_2\approx\frac{12{,}317+51{,}0736}{2}\approx 31{,}6953\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Converter U_2 em rotação n (rev/s e rpm):
  • Lembre que \displaystyle U_2=2\pi n r_2, logo
n=\frac{U_2}{2\pi r_2}.
Com r_2=0{,}200\\ \mathrm{m} e U_2\approx 31{,}6953\\ \mathrm{m/s}:
2\pi r_2 = 2\pi\cdot 0{,}200 \approx 1{,}2566371\\ \mathrm{m}.
Logo
n\approx\frac{31{,}6953}{1{,}2566371}\approx 25{,}221\\ \mathrm{rev/s}.
Multiplicando por 60 para obter rpm:
n\approx 25{,}221\cdot 60 \approx 1{.}513{,}3\\ \mathrm{rpm}.
Arredondando para um valor prático: \displaystyle n\approx 1{.}513\\ \mathrm{rpm} (ou \approx 1{.}513{,}3\\ \mathrm{rpm} se quiser mais precisão).

Passo 9

Comentário sobre \displaystyle \Delta P_{fl} (o dado que ficou ambíguo):
  • Eu declarei antes que não tenho certeza do que \displaystyle \Delta P_{fl}=1{,}85 significa. Se for um valor de perda de carga (em metros), então a altura útil fornecida pelo rotor deveria compensar essas perdas: tipicamente você teria que ter H_{th} tal que H_{th}-\Delta P_{fl}=H_{útil}ú ou o contrário, dependendo da definição. Se \Delta P_{fl} for um fator adimensional que altera a equação de Euler, o procedimento muda.
  • Se o enunciado tivesse dito, por exemplo, que \Delta P_{fl} é perda adicional em metros, a equação utilizada seria H_{th}-\Delta P_{fl}=H_{desejado} e repetiríamos os passos com H_{desejado} no lugar de H_{th}. Como não há essa clareza, dei a solução padrão usando exatamente H_{th}=62{,}61\,[\mathrm{m}].

Passo 10

Estimativa do número de palhetas Z (método prático e justificado):
Não existe um único Z “correto” sem um projeto completo; normalmente escolhe‑se Z por regras‑de‑polegar a partir da solidez e do comprimento de corda. Vou usar um procedimento didático e razoável para obter um valor que um projetista iniciante poderia usar:
  • Defino raio médio \displaystyle r_m=\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{0{,}100+0{,}200}{2}=0{,}150\\ \mathrm{m}. Circunferência média: \displaystyle 2\pi r_m\approx 0{,}94248\\ \mathrm{m}.
  • Introduzo a noção de solidez \displaystyle \sigma (não confundir com coeficiente de escorregamento): \displaystyle \sigma=\frac{c}{s}, onde c é a corda da pá (medida no plano tangencial) e s é o espaçamento entre palhetas ao longo da circunferência: s=\dfrac{2\pi r_m}{Z}. Valores típicos de \sigma para um impulsor variam entre ≈0{,}6 e 1{,}2; para bombas pequenas escolhe‑se algo em torno de 0{,}8–1{,}0.
  • Preciso de uma hipótese sobre a corda c. Uma escolha razoável de projeto inicial é assumir que a corda é algumas vezes a altura da pá. Vou assumir c\approx 3\,b_2 (regra prática para que a pá tenha área suficiente): com b_2=0{,}018 temos c\approx 0{,}054\\ \mathrm{m}.
  • Escolho uma solidez típica \displaystyle \sigma\approx 0{,}9. Então o espaçamento desejado é s=\dfrac{c}{\sigma}=\dfrac{0{,}054}{0{,}9}=0{,}060\\ \mathrm{m}.
  • Finalmente
Z=\frac{2\pi r_m}{s}\approx\frac{0{,}94248}{0{,}060}\approx 15{,}71.
Arredondando para um número inteiro prático e comum em projetos de impelidores escolhemos Z=16 palhetas. Observação: se você escolher c um pouco menor ou \sigma diferente, Z muda — por isso isto é uma estimativa baseada em escolhas de projeto típicas.

Resposta

n \approx 1{.}513\\ \mathrm{rpm} (aprox. 25{,}22\\ \mathrm{rev/s})
Z \approx 16\\ \text{palhetas}

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