Exerc. 8) Uma instalação com bomba hidráulica radial destinada a bombear
, apresenta uma altura teórica
igual a
. Considere o
. Calcule a rotação da bomba para desenvolver estas grandezas de funcionamento conhecendo-se os seguintes dados do rotor:
a) Entrada do rotor: diâmetro de
e altura da pá de
;
b) saída do rotor: diâmetro de
e altura da pá de
;
c) ângulo construtivo na saída:
;
d) Calcule um valor para o número
de palhetas.
a) Entrada do rotor: diâmetro de
b) saída do rotor: diâmetro de
c) ângulo construtivo na saída:
d) Calcule um valor para o número
Passo 1
Enunciado e dados importantes (vou listar com calma para a gente não se perder):
- Vazão:
. - Altura teórica (fornecida):
. - Foi dado um parâmetro
(o enunciado não informa unidades nem explica o que é exatamente — pode ser uma correção empírica, fator de perdas, fator de escorregamento, etc.). Eu não tenho certeza do significado preciso desse ; se for um fator conhecido (por ex. fator de perda em metros) ele deveria ser usado diretamente subtraindo de ou multiplicando um coeficiente relacionado; se for o fator de escorregamento (normalmente denotado por ), seu valor costuma ser menor que 1, não 1{,}85. Como o enunciado não explica, na resolução abaixo vou primeiro resolver usando os conceitos padrão (Euler, triângulos de velocidades) e depois comentar como entraria caso soubéssemos o seu significado. - Geometria do rotor:
- Entrada (índice 1): diâmetro
, altura da pá . - Saída (índice 2): diâmetro
, altura da pá . - Ângulo construtivo (saída):
.
- Entrada (índice 1): diâmetro
- O que se pede: calcular a rotação da bomba (n) necessária para obter a vazão e a altura teórica dadas e calcular um valor para o número de palhetas
.
Passo 2
Teoria básica que vamos usar (explicando devagar e intuitivamente):
- A equação de Euler para máquinas rotativas (bomba/impulsor) dá a altura teórica produzida em função das velocidades tangenciais e dos componentes tangenciais das velocidades absolutas nas seções 1 e 2:
Expliquei as variáveis:
-
é a aceleração da gravidade ( ). -
é a velocidade periférica do rotor na seção : , com em e o raio (metade do diâmetro). -
é a componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta do fluido na seção .
Essa equação diz, em palavras simples: a bomba adiciona ao fluido a variação do momento angular por unidade de massa, convertida em altura (energia por peso).
Passo 3
Hipóteses e simplificações razoáveis (que são usuais em provas e exercícios):
- Em muitas bombas centrífugas de sucção centrada, supõe-se ausência de pré-giros na entrada (no olho do rotor), isto é
. Vou adotar isso, o que simplifica a equação para:
- O escoamento meridional (componente que atravessa a altura da pá) em cada seção chamamos de
. Para uma seção anular cilíndrica aproximamos a continuidade por:
onde
é o raio da seção e
a altura da pá nessa seção. Essa relação diz: vazão = área meridional (perímetro × altura) × velocidade meridional.
- Na saída o escoamento relativo
é aproximadamente alinhado com a pá (ângulo construtivo ). Pelo triângulo das velocidades, tomando como o ângulo entre a tangente e a pá (convenção usual), vale:
Dessa relação podemos isolar
em função de
e
.
Passo 4
Calcular a velocidade meridional na saída
a partir da continuidade (faça igualzinho na prova):
- Raio de saída:
- Área meridional (circunferência vezes altura):
. Então
Agora substituímos os números (mostro a conta passo a passo):
Calcule isso:
Então
Passo 5
Expressar
em função de
usando o ângulo
:
Da relação do triângulo de velocidades
Da relação do triângulo de velocidades
isolamos
:
Isto é intuitivo: a componente tangencial absoluta do fluido na saída é a diferença entre a velocidade periférica do rotor e a componente tangencial do escoamento relativo alinhado com a pá.
Passo 6
Substituir
na equação de Euler e montar a equação em
:
A equação (com ) era
A equação (com
Substituindo
obtemos
Multiplicando por
e reorganizando:
É uma equação quadrática em
.
Passo 7
Colocar valores numéricos na quadrática e resolver (vou calcular com precisão suficiente para a prova):
- Primeiro calcule
com :
- Já temos
. Então
- Produto
:
A equação fica
Resolver pela fórmula de Bhaskara:
Calcule o discriminante:
Selecionamos a raiz positiva (velocidade periférica não pode ser negativa):
Passo 8
Converter
em rotação
(rev/s e rpm):
- Lembre que
, logo
Com
e
:
Logo
Multiplicando por
para obter rpm:
Arredondando para um valor prático:
(ou
se quiser mais precisão).
Passo 9
Comentário sobre
(o dado que ficou ambíguo):
- Eu declarei antes que não tenho certeza do que
significa. Se for um valor de perda de carga (em metros), então a altura útil fornecida pelo rotor deveria compensar essas perdas: tipicamente você teria que ter tal que ou o contrário, dependendo da definição. Se for um fator adimensional que altera a equação de Euler, o procedimento muda. - Se o enunciado tivesse dito, por exemplo, que
é perda adicional em metros, a equação utilizada seria e repetiríamos os passos com no lugar de . Como não há essa clareza, dei a solução padrão usando exatamente .
Passo 10
Estimativa do número de palhetas
(método prático e justificado):
Não existe um único “correto” sem um projeto completo; normalmente escolhe‑se
por regras‑de‑polegar a partir da solidez e do comprimento de corda. Vou usar um procedimento didático e razoável para obter um valor que um projetista iniciante poderia usar:
Não existe um único
- Defino raio médio
Circunferência média: - Introduzo a noção de solidez
(não confundir com coeficiente de escorregamento): onde é a corda da pá (medida no plano tangencial) e é o espaçamento entre palhetas ao longo da circunferência: . Valores típicos de para um impulsor variam entre ≈0{,}6 e 1{,}2; para bombas pequenas escolhe‑se algo em torno de 0{,}8–1{,}0. - Preciso de uma hipótese sobre a corda
. Uma escolha razoável de projeto inicial é assumir que a corda é algumas vezes a altura da pá. Vou assumir (regra prática para que a pá tenha área suficiente): com temos - Escolho uma solidez típica
. Então o espaçamento desejado é - Finalmente
Arredondando para um número inteiro prático e comum em projetos de impelidores escolhemos
palhetas. Observação: se você escolher
um pouco menor ou
diferente,
muda — por isso isto é uma estimativa baseada em escolhas de projeto típicas.