Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
\omega^{\prime}=\frac{\omega}{x}+1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
\omega' = \frac{\omega}{x} + 1
e pede que classifiquemos a equação e encontremos sua solução geral. Vamos usar teoria de EDOs lineares de primeira ordem e fator integrante.

Passo 2

Para classificar, note que podemos escrever a equação na forma padrão
\omega' - \frac{1}{x}\,\omega = 1.
Isso mostra que é uma EDO de primeira ordem, linear não-homogênea, do tipo
\omega' + P(x)\,\omega = Q(x),
com P(x)=-1/x e Q(x)=1. Também poderia ser resolvida via fator integrante.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-\ln|x|) = x^{-1}.
Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-1} obtemos
\frac{1}{x}\,\omega' - \frac{1}{x^2}\,\omega = \frac{1}{x},
que é equivalemente
\bigl(\tfrac{\omega}{x}\bigr)' = \frac{1}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{\omega}{x} = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por x vem a solução geral
\omega(x) = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr).

Resposta

\displaystyle \omega(x) = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr), com C constante de integração.

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