Exerc. 5) Uma bomba com escoamento e entrada radial trabalha com uma vazão de
e
. A altura do canal de saída do rotor é de
, sendo que o ângulo construtivo de saída da pá é igual a
. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a
. Determine a altura e a potência teórica da bomba nas condições dadas.
Resp.:
Resp.:
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
O enunciado pede:
- a altura teórica da bomba (ou seja, a carga hidráulica teórica)
; - a potência teórica
.
Observações imediatas (sem resolver ainda):
é a altura (espessura) do canal na saída do rotor;
é a componente meridiana (radial) da velocidade absoluta na saída;
é o ângulo construtivo de saída da pá (ângulo do vetor velocidade relativa em relação à tangente). Vamos transformar unidades e aplicar as equações de continuidade e a equação de Euler para bombas.
Passo 2
Converter unidades para o sistema SI e escrever valores numéricos prontos para cálculo.
Converter a vazão:
Converter a altura do canal:
Rotação em rad/s:
Constante gravitacional:
Densidade da água (para potência):
Passo 3
Princípio usado 1 — continuidade na saída do rotor: a vazão volumétrica é dada por velocidade meridiana vezes a área de escoamento. A área periférica na saída é a circunferência vezes a altura do canal, isto é
. Assim:
Explicação didática:
é a componente radial (meridiana) da velocidade média através de toda a seção anular; multiplicando pela área que o fluido atravessa obtemos o volume por unidade de tempo.
Rearranjando para obter o raio externo
:
Passo 4
Aplicar a fórmula de continuidade e calcular
.
Substituindo os valores numéricos (todos em SI):
Calcule o denominador:
.
Logo
Logo
Passo 5
Princípio usado 2 — velocidade periférica do rotor: a velocidade tangencial da pá na periferia é
. Isso é a velocidade do sólido (pá) no ponto de saída; é perpendicular à componente meridiana e tem direção tangencial.
Calcule
:
Observação: aqui deu exatamente (aproximadamente)
.
Passo 6
Geometria do triângulo de velocidades na saída — relação entre velocidades absoluta
, relativa
e velocidade do rotor
.
Explicação didática: em turbomáquinas vetores de velocidade obedecem
, onde
é velocidade do rotor (só componente tangencial),
é velocidade relativa do fluido em relação à pá, e
é a velocidade absoluta do fluido. Na direção meridiana (radial) o rotor não tem componente, logo a componente meridiana absoluta é igual à componente meridiana relativa:
O ângulo construtivo
é o ângulo entre a direção tangencial e a direção de
. Logo as componentes de
relacionam-se por
Aqui
é a componente tangencial (relativa) e
já conhecida.
Passo 7
Calcular
usando
e
.
Valor numérico:
, então
Observação didática: o sinal físico de
costuma ser negativo (o componente tangencial relativo aponta contrariamente à rotação), mas aqui usamos magnitudes e aplicamos o sinal no triângulo de velocidades ao formar a componente tangencial absoluta.
Passo 8
Determinar a componente tangencial da velocidade absoluta na saída
.
Pela relação vetorial nas componentes tangenciais:
Devemos tomar cuidado com sinais: se
aponta no sentido oposto à rotação, sua contribuição será negativa; neste problema usual de pás curvadas para trás, a relação prática que usamos (e que é coerente com os sinais) é:
Usando os valores calculados:
Passo 9
Equação de Euler para bombas (forma simplificada para salto de momento na periferia): a variação de energia por unidade de massa fornecida ao fluido (g vezes a altura teórica
) é dada por:
Explicação didática: essa é a equação de Euler para turbomáquinas em forma de momento angular, onde
são velocidades periféricas e
componentes tangenciais da velocidade absoluta. Se o escoamento na entrada é radial sem rotação residual (entrada livre), podemos considerar
. O enunciado indica condições típicas de entrada radial livre, logo adotamos
.
Assim:
Passo 10
Calcular a altura teórica
.
Substituindo
,
e
:
Arredondando conforme enunciado:
.
Passo 11
Calcular a potência teórica
.
A potência hidráulica teórica fornecida pela máquina (potência útil hidráulica) é dada por:
Explicação didática:
é a densidade do fluido,
gravidade,
vazão volumétrica e
a carga (altura) que o fluido recebe; produto
tem unidades de potência (W).
Substituindo os valores:
Em quilowatts:
O enunciado dá valor aproximado
; nosso cálculo detalhado fornece cerca de
, que é coerente com o valor aproximado esperado.