Exerc. 5) Uma bomba com escoamento e entrada radial trabalha com uma vazão de 5\left[\frac{\mathrm{~m}^{3}}{\mathrm{~min}}\right] e 1200[\mathrm{rpm}]. A altura do canal de saída do rotor é de 20[\mathrm{~mm}], sendo que o ângulo construtivo de saída da pá é igual a 25^{\circ}. A componente meridiana da velocidade absoluta na saída é igual a 2,5\left[\frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}\right]. Determine a altura e a potência teórica da bomba nas condições dadas.
Resp.: H_{t h \infty} \approx 95[m] ; N_{t h \infty} \approx 80[k W]

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
Q=5\left[\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{min}}\right],\quad n=1200\left[\mathrm{rpm}\right],\quad b_2=20\,[\mathrm{mm}],\quad \beta_2=25^\circ,\quad c_{m2}=2,5\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right].
O enunciado pede:
  • a altura teórica da bomba (ou seja, a carga hidráulica teórica) H_{th,\infty};
  • a potência teórica N_{th,\infty}.
Observações imediatas (sem resolver ainda): b_2 é a altura (espessura) do canal na saída do rotor; c_{m2} é a componente meridiana (radial) da velocidade absoluta na saída; \beta_2 é o ângulo construtivo de saída da pá (ângulo do vetor velocidade relativa em relação à tangente). Vamos transformar unidades e aplicar as equações de continuidade e a equação de Euler para bombas.

Passo 2

Converter unidades para o sistema SI e escrever valores numéricos prontos para cálculo.
Converter a vazão:
Q=5\left[\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{min}}\right]=\frac{5}{60}\left[\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}}\right]=0,08333\left[\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}}\right].
Converter a altura do canal:
b_2=20\,[\mathrm{mm}]=0,020\,[\mathrm{m}].
Rotação em rad/s:
n=1200\,[\mathrm{rpm}]\Rightarrow \omega=\frac{2\pi n}{60}=2\pi\cdot 20=40\pi\\ \left[\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right]\approx125,6637\left[\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\right].
Constante gravitacional:
g=9,81\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\right].
Densidade da água (para potência):
\rho\approx1000\left[\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\right].

Passo 3

Princípio usado 1 — continuidade na saída do rotor: a vazão volumétrica é dada por velocidade meridiana vezes a área de escoamento. A área periférica na saída é a circunferência vezes a altura do canal, isto é A_2=2\pi r_2 b_2. Assim:
Q = c_{m2}\,A_2 = c_{m2}\,(2\pi r_2 b_2).
Explicação didática: c_{m2} é a componente radial (meridiana) da velocidade média através de toda a seção anular; multiplicando pela área que o fluido atravessa obtemos o volume por unidade de tempo.
Rearranjando para obter o raio externo r_2:
r_2=\frac{Q}{2\pi b_2 c_{m2}}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de continuidade e calcular r_2.
Substituindo os valores numéricos (todos em SI):
r_2=\frac{0,08333}{2\pi\cdot 0,020\cdot 2,5}.
Calcule o denominador: 2\pi\cdot 0,020\cdot 2,5=2\pi\cdot 0,05\approx0,3141593.
Logo
r_2\approx\frac{0,08333}{0,3141593}\approx0,26526\,[\mathrm{m}].

Passo 5

Princípio usado 2 — velocidade periférica do rotor: a velocidade tangencial da pá na periferia é u_2=\omega r_2. Isso é a velocidade do sólido (pá) no ponto de saída; é perpendicular à componente meridiana e tem direção tangencial.
Calcule u_2:
u_2=\omega r_2=(40\pi)\cdot 0,26526\approx125,6637\cdot 0,26526\approx33,333\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right].
Observação: aqui deu exatamente (aproximadamente) 33,\!333\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Geometria do triângulo de velocidades na saída — relação entre velocidades absoluta c_2, relativa w_2 e velocidade do rotor u_2.
Explicação didática: em turbomáquinas vetores de velocidade obedecem \vec{c}=\vec{u}+\vec{w}, onde \vec{u} é velocidade do rotor (só componente tangencial), \vec{w} é velocidade relativa do fluido em relação à pá, e \vec{c} é a velocidade absoluta do fluido. Na direção meridiana (radial) o rotor não tem componente, logo a componente meridiana absoluta é igual à componente meridiana relativa:
c_{m2}=w_{m2}.
O ângulo construtivo \beta_2 é o ângulo entre a direção tangencial e a direção de w_2. Logo as componentes de w_2 relacionam-se por
\tan\beta_2=\frac{w_{m2}}{w_{u2}}\quad\Rightarrow\quad w_{u2}=\frac{w_{m2}}{\tan\beta_2}.
Aqui w_{u2} é a componente tangencial (relativa) e w_{m2}=c_{m2} já conhecida.

Passo 7

Calcular w_{u2} usando \beta_2=25^\circ e c_{m2}=2,5\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right].
w_{u2}=\frac{c_{m2}}{\tan\beta_2}=\frac{2,5}{\tan 25^\circ}.
Valor numérico: \tan 25^\circ\approx0,4663077, então
w_{u2}\approx\frac{2,5}{0,4663077}\approx5,362\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right].
Observação didática: o sinal físico de w_{u2} costuma ser negativo (o componente tangencial relativo aponta contrariamente à rotação), mas aqui usamos magnitudes e aplicamos o sinal no triângulo de velocidades ao formar a componente tangencial absoluta.

Passo 8

Determinar a componente tangencial da velocidade absoluta na saída c_{u2}.
Pela relação vetorial nas componentes tangenciais:
c_{u2}=u_2 + w_{u2}.
Devemos tomar cuidado com sinais: se w_{u2} aponta no sentido oposto à rotação, sua contribuição será negativa; neste problema usual de pás curvadas para trás, a relação prática que usamos (e que é coerente com os sinais) é:
c_{u2}=u_2 - |w_{u2}|.
Usando os valores calculados:
c_{u2}=33,333-5,362\approx27,971\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right].

Passo 9

Equação de Euler para bombas (forma simplificada para salto de momento na periferia): a variação de energia por unidade de massa fornecida ao fluido (g vezes a altura teórica H) é dada por:
gH = u_2\,c_{u2} - u_1\,c_{u1}.
Explicação didática: essa é a equação de Euler para turbomáquinas em forma de momento angular, onde u são velocidades periféricas e c_u componentes tangenciais da velocidade absoluta. Se o escoamento na entrada é radial sem rotação residual (entrada livre), podemos considerar u_1 c_{u1}\approx 0. O enunciado indica condições típicas de entrada radial livre, logo adotamos u_1 c_{u1}=0.
Assim:
H=\frac{u_2\,c_{u2}}{g}.

Passo 10

Calcular a altura teórica H_{th,\infty}.
Substituindo u_2, c_{u2} e g:
H=\frac{33,333\cdot 27,971}{9,81}\approx\frac{932,38}{9,81}\approx95,07\,[\mathrm{m}].
Arredondando conforme enunciado: H_{th,\infty}\approx95\,[\mathrm{m}].

Passo 11

Calcular a potência teórica N_{th,\infty}.
A potência hidráulica teórica fornecida pela máquina (potência útil hidráulica) é dada por:
N=\rho g Q H.
Explicação didática: \rho é a densidade do fluido, g gravidade, Q vazão volumétrica e H a carga (altura) que o fluido recebe; produto \rho g Q H tem unidades de potência (W).
Substituindo os valores:
N=1000\cdot 9,81\cdot 0,08333\cdot 95,07\approx817,5\cdot95,07\approx77\,740\,[\mathrm{W}].
Em quilowatts:
N\approx77,74\,[\mathrm{kW}]\approx78\,[\mathrm{kW}].
O enunciado dá valor aproximado 80\,[\mathrm{kW}]; nosso cálculo detalhado fornece cerca de 77,7\,[\mathrm{kW}], que é coerente com o valor aproximado esperado.

Resposta

H_{th,\infty}\approx95\,[\mathrm{m}]
N_{th,\infty}\approx78\,[\mathrm{kW}]

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