Exerc. 5) Uma bomba foi testada em laboratório e os resultados indicaram que, em H=36[\mathrm{~m}] e Q=50[\ell / \mathrm{s}], se iniciou um processo de cavitação quando a soma da pressão estática e da carga dinâmica na entrada foi reduzida para 3,5[\mathrm{~m}]. Considere uma pressão atmosférica de 100[\mathrm{kPa}] e a pressão de vapor para a água na temperatura de operação como sendo de p_{v}=1,8[\mathrm{kPa}]. Se a bomba for posta a operar numa região onde a pressão atmosférica é de 82[\mathrm{kPa}] e a pressāo de vapor é 830[\mathrm{~Pa}], qual o valor do coeficiente de cavitação (de Thoma) quando a bomba opera à mesma carga e vazāo mencionadas? É necessário reduzir a altura da sucção? Se sim, de quantos metros?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede, passo a passo e sem pular nada. Dados fornecidos:
  • Altura de carga da bomba: \;H=36\\ \mathrm{m}.
  • Vazão: \;Q=50\\ \ell/\mathrm{s}=0{,}05\\ \mathrm{m^3/s}.
  • No ensaio de laboratório, o processo de cavitação iniciou quando “a soma da pressão estática e da carga dinâmica na entrada” foi reduzida para \;3{,}5\\ \mathrm{m}. (vou chamar essa soma de h_{\text{entrada}} = 3{,}5\\ \mathrm{m}.)
  • Pressão atmosférica no laboratório: \;p_{a,\text{lab}}=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão de vapor da água na operação do ensaio: \;p_{v,\text{lab}}=1{,}8\\ \mathrm{kPa}.
  • Nova região (onde queremos operar): \;p_{a,\text{novo}}=82\\ \mathrm{kPa} e \;p_{v,\text{novo}}=830\\ \mathrm{Pa}=0{,}83\\ \mathrm{kPa}.
O que o enunciado pede:
  1. Achar o coeficiente de cavitação de Thoma (adimensional) quando a bomba opera à mesma carga e vazão mencionadas.
  2. Saber se é necessário reduzir a altura da sucção na nova região; se for necessário, determinar de quantos metros.
Observação: a informação “soma da pressão estática e da carga dinâmica na entrada = 3,5 m” será usada como a medida que gera a NPSH disponível no ensaio (ver passos seguintes). Não há diâmetros nem perdas fornecidas, então vamos usar a forma geral das definições de NPSH e do coeficiente de Thoma para relacionar pressões/alturas entre laboratório e nova região.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais — explico como funcionam e por que vamos usá-las.
  1. NPSH disponível (NPSH_a) — definição prática em termos de alturas:
\text{NPSH}_a \;=\; \frac{p_s}{\rho g} \;+\; \frac{v_s^2}{2g} \;-\; \frac{p_v}{\rho g},
onde
  • p_s é a pressão estática absoluta na entrada da bomba (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (para água, \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • v_s^2/(2g) é a carga dinâmica (head de velocidade) na entrada (m),
  • p_v é a pressão de vapor (Pa).
Interpretação simples: NPSH_a é a “distância” (em metros de coluna de água) entre a energia (pressão + velocidade) disponível na entrada e a pressão de vapor; quando essa diferença fica pequena, aparece cavitação.
  1. Coeficiente de cavitação de Thoma, \sigma — definição usada aqui:
\sigma \;=\; \frac{\text{NPSH}_a}{H},
onde H é a carga da bomba (m). Assim, \sigma é simplesmente a NPSH disponível (em m) não-dimensionalizada pela carga da bomba. Para o ponto de início de cavitação, usamos \text{NPSH}_{\text{requerida}} = valor de NPSH_a no qual cavitação começa, e então \sigma_{\text{crit}}=\text{NPSH}_{\text{requerida}}/H.
  1. Conversão de pressão (Pa) para altura de coluna de água (m):
\frac{p}{\rho g}\quad\text{(m)}.
Farei isso sempre que precisar transformar kPa ou Pa em metros de coluna de água.
Explicação rápida e amigável: no ensaio reduziram a energia (pressão + velocidade) na entrada até que a cavitação começou; esse valor de energia (menos a pressão de vapor) é a NPSH requerida do conjunto bomba-sistema naquele ponto de operação. Essa NPSH requerida é a mesma característica (em m) que, dividida por H, nos dá o coeficiente de Thoma crítico — que é independentemente do local (é característica para aquele ponto de operação). Para a nova região, devemos comparar a NPSH disponível nessa região com a NPSH requerida; se a disponível for menor, há que reduzir a altura da sucção (ou alterar sistema) para compensar.

Passo 3

Calcular a NPSH requerida (no ensaio) a partir do dado h_{\text{entrada}}=3{,}5\\ \mathrm{m}.
Pelo enunciado interpretamos que na condição de início de cavitação:
\frac{p_s}{\rho g} \;+\; \frac{v_s^2}{2g} \;=\; 3{,}5\\ \mathrm{m}.
Então a NPSH requerida é esse somatório menos a cabeça de vapor:
\text{NPSH}_{\text{req}} \;=\; 3{,}5 \;-\; \frac{p_{v,\text{lab}}}{\rho g}.
Agora converto p_{v,\text{lab}}=1{,}8\\ \mathrm{kPa}=1800\\ \mathrm{Pa} para metros:
\frac{p_{v,\text{lab}}}{\rho g} \;=\; \frac{1800}{1000\cdot 9{,}81} \;=\; \frac{1800}{9810} \;\approx\; 0{,}183488\\ \mathrm{m}.
Portanto
\text{NPSH}_{\text{req}} \;=\; 3{,}5 \;-\; 0{,}183488 \;=\; 3{,}316512\\ \mathrm{m}.
Comentário amigo: essa é a altura de segurança que a bomba precisa na entrada (em metros de água) para não cavitar, naquelas condições de ensaio.

Passo 4

Calcular o coeficiente de cavitação de Thoma crítico \sigma_{\text{crit}}.
Usamos a definição
\sigma_{\text{crit}} \;=\; \frac{\text{NPSH}_{\text{req}}}{H}.
Substituindo números:
\sigma_{\text{crit}} \;=\; \frac{3{,}316512}{36} \;\approx\; 0{,}0921253.
Arredondando razoavelmente: \sigma_{\text{crit}}\approx 0{,}0921 (adimensional).
Explicação curta: esse número diz que a bomba precisa de cerca de 9{,}21\% da sua carga H em NPSH para não cavitar nesse ponto de operação.

Passo 5

Agora verificar se, na nova região (pressão atmosférica menor e pressão de vapor diferente), a NPSH disponível com a mesma geometria de sucção é suficiente; caso não seja, calcular quanto precisamos reduzir a altura da sucção (isto é, descer o nível livre do reservatório de sucção em relação à bomba) para recuperar a NPSH requerida.
Primeiro escrevo as expressões gerais (assumindo mesma geometria, mesma perda entre reservatório e entrada e mesma velocidade de entrada):
  • No ensaio:
\text{NPSH}_{\text{req}} \;=\; \frac{p_{a,\text{lab}}}{\rho g} \;-\; z \;+\; \frac{v_s^2}{2g} \;-\; \frac{p_{v,\text{lab}}}{\rho g},
onde z é a altura do nível do reservatório de sucção acima da entrada da bomba (ou a perda equivalente); (note que \frac{p_{a,\text{lab}}}{\rho g}-z = p_s/(\rho g) conforme antes). No ensaio sabemos a combinação \frac{p_{a,\text{lab}}}{\rho g}-z + \frac{v_s^2}{2g} = 3{,}5\\ \mathrm{m}, então a expressão anterior concorda com o passo 3.
  • Na nova região, com mesma z inicialmente (mesma instalação) e mesma velocidade:
\text{NPSH}_{\text{novo}} \;=\; \frac{p_{a,\text{novo}}}{\rho g} \;-\; z \;+\; \frac{v_s^2}{2g} \;-\; \frac{p_{v,\text{novo}}}{\rho g}.
Subtraindo as duas expressões (novo menos ensaio) cancela -z + v_s^2/(2g), obtendo
\text{NPSH}_{\text{novo}} - \text{NPSH}_{\text{req}} \;=\; \frac{p_{a,\text{novo}}-p_{v,\text{novo}} - \left(p_{a,\text{lab}}-p_{v,\text{lab}}\right)}{\rho g}.
Se \text{NPSH}_{\text{novo}} \ge \text{NPSH}_{\text{req}}, não é necessário mexer na altura da sucção. Caso contrário, precisamos reduzir (descer) o nível do reservatório de sucção em uma quantidade \Delta z que compense a diferença de pressões. Fazendo a conta para achar o \Delta z necessário, obtemos:
\Delta z \;=\; \frac{\left(p_{a,\text{lab}}-p_{v,\text{lab}}\right)-\left(p_{a,\text{novo}}-p_{v,\text{novo}}\right)}{\rho g}.
(derivação direta: queremos que a nova NPSH, depois de reduzir a altura em \Delta z, fique igual à \text{NPSH}_{\text{req}}; isso gera a equação acima.)

Passo 6

Calcular numericamente \Delta z.
Dados numéricos (em Pa):
p_{a,\text{lab}}-p_{v,\text{lab}} \;=\; 100000 - 1800 \;=\; 98200\\ \mathrm{Pa},
p_{a,\text{novo}}-p_{v,\text{novo}} \;=\; 82000 - 830 \;=\; 81170\\ \mathrm{Pa}.
Diferença:
98200 - 81170 \;=\; 17030\\ \mathrm{Pa}.
Agora convertemos para metros de coluna de água:
\Delta z \;=\; \frac{17030}{\rho g} \;=\; \frac{17030}{1000\cdot 9{,}81} \;\approx\; 1{,}735\\ \mathrm{m}.
Interpretação: é necessário reduzir (descer) o nível do reservatório de sucção em cerca de 1{,}735\\ \mathrm{m} para compensar a queda da pressão atmosférica e a mudança de pressão de vapor, e assim manter a NPSH disponível igual à NPSH requerida. Se não fizer essa redução, a NPSH disponível cairá em \approx1{,}735\\ \mathrm{m} em relação à do ensaio, o que causará cavitação.
Observação adicional (útil para conferir): a NPSH disponível na nova região sem alteração seria
\text{NPSH}_{\text{novo, sem alterar}} \;=\; \text{NPSH}_{\text{req}} \;-\; \Delta z \;=\; 3{,}316512 - 1{,}735 \;\approx\; 1{,}5815\\ \mathrm{m},
bem menor que o requerido 3{,}3165\\ \mathrm{m}, confirmando que é necessário agir.

Resposta

\sigma_{\text{crit}} \approx 0{,}0921.
Sim. Reduzir a altura de sucção em \Delta z \approx 1{,}735\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados