(Modificado de Prova da Transpetro - Químico de Petróleo Júnior - 2011 - Fundação Cesgranrio) A Equação de Bernoulli foi utilizada para calcular a queda de pressão de um escoamento incompressível e em regime estacionário em uma tubulação horizontal de diâmetro uniforme. Se representarmos por
e
as quedas de pressão previstas para, respectivamente,
e
de tubulação, pode-se afirmar que
Escolha uma opção:
◯ A.
◯ B.
◯ C
◯ D.
◯ A.
◯ B.
◯ C
◯ D.
Passo 1
O enunciado dá uma tubulação horizontal de diâmetro uniforme, com escoamento incompressível e em regime estacionário. Define-se:
= queda de pressão prevista ao longo de
de tubulação.
= queda de pressão prevista ao longo de
de tubulação.
A pergunta: qual é a relação entre e
(qual das alternativas A, B, C ou D é correta)?
A pergunta: qual é a relação entre
Passo 2
Vamos lembrar a forma adequada da Equação de Bernoulli quando incluímos perda de carga (atrito) entre dois pontos numa tubulação. Em forma de energia por unidade de massa, para os pontos
e
,
Expliquei cada símbolo:
-
= pressão (Pa), -
= densidade do fluido (kg/m^3), -
= aceleração da gravidade (m/s^2), -
= coeficiente de correção (assume-se para perfil uniforme; aqui vamos usar ), -
= velocidade média do escoamento (m/s), -
= cota vertical (m), -
= perda de carga por unidade de peso (m) devido ao atrito ao longo do trecho entre 1 e 2.
Passo 3
Para uma tubulação horizontal e de diâmetro uniforme, entre dois pontos no mesmo escoamento:
-
(é horizontal), -
(diâmetro uniforme e regime estacionário), -
(mesmo perfil).
Portanto os termos cinéticos e de elevação se cancelam, sobrando a relação entre a diferença de pressão e a perda de carga:
ou, multiplicando por
,
Isto significa que a queda de pressão
é diretamente proporcional à perda de carga
.
Passo 4
Agora precisamos relacionar
com o comprimento
do trecho. A fórmula usada comumente para perda de carga por atrito em tubulações é a fórmula de Darcy–Weisbach:
onde
-
= fator de atrito (adimensional, depende de Reynolds e rugosidade), -
= comprimento do trecho considerado (m), -
= diâmetro da tubulação (m).
Substituindoem temos:
Observe que o
aparece no numerador e denominador e cancela:
Passo 5
Da expressão final
vemos claramente que, para um mesmo fluido (
fixo), mesma tubulação (
fixo) e mesma velocidade (
fixo), todos os fatores multiplicativos são constantes exceto
. Portanto
Assim a razão entre as quedas é igual à razão entre os comprimentos:
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Resposta
A.