(Modificado de Prova da Transpetro - Químico de Petróleo Júnior - 2011 - Fundação Cesgranrio) A Equação de Bernoulli foi utilizada para calcular a queda de pressão de um escoamento incompressível e em regime estacionário em uma tubulação horizontal de diâmetro uniforme. Se representarmos por \Delta P_{3} e \Delta P_{12} as quedas de pressão previstas para, respectivamente, 3 m e 12 m de tubulação, pode-se afirmar que
Escolha uma opção:
◯ A.
\Delta P_{3}=0,25 \times \Delta P_{12}
◯ B.
\Delta P_{3}=0,125 \times \Delta P_{12}
◯ C
\Delta P_{3}=4 \times \Delta P_{12}
◯ D.
\Delta P_{3}=\Delta P_{12}=0

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação horizontal de diâmetro uniforme, com escoamento incompressível e em regime estacionário. Define-se:
\Delta P_{3} = queda de pressão prevista ao longo de 3\\ \mathrm{m} de tubulação.
\Delta P_{12} = queda de pressão prevista ao longo de 12\\ \mathrm{m} de tubulação.
A pergunta: qual é a relação entre \Delta P_{3} e \Delta P_{12} (qual das alternativas A, B, C ou D é correta)?

Passo 2

Vamos lembrar a forma adequada da Equação de Bernoulli quando incluímos perda de carga (atrito) entre dois pontos numa tubulação. Em forma de energia por unidade de massa, para os pontos 1 e 2,
\frac{p_1}{\rho g} + \frac{\alpha_1 v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{\alpha_2 v_2^2}{2g} + z_2 + h_f.
Expliquei cada símbolo:
  • p = pressão (Pa),
  • \rho = densidade do fluido (kg/m^3),
  • g = aceleração da gravidade (m/s^2),
  • \alpha = coeficiente de correção (assume-se 1 para perfil uniforme; aqui vamos usar \alpha_1=\alpha_2),
  • v = velocidade média do escoamento (m/s),
  • z = cota vertical (m),
  • h_f = perda de carga por unidade de peso (m) devido ao atrito ao longo do trecho entre 1 e 2.

Passo 3

Para uma tubulação horizontal e de diâmetro uniforme, entre dois pontos no mesmo escoamento:
  • z_1 = z_2 (é horizontal),
  • v_1 = v_2 = v (diâmetro uniforme e regime estacionário),
  • \alpha_1=\alpha_2 (mesmo perfil).
    Portanto os termos cinéticos e de elevação se cancelam, sobrando a relação entre a diferença de pressão e a perda de carga:
\frac{p_1 - p_2}{\rho g} = h_f
ou, multiplicando por \rho g,
\Delta P \equiv p_1 - p_2 = \rho g\, h_f.
Isto significa que a queda de pressão \Delta P é diretamente proporcional à perda de carga h_f.

Passo 4

Agora precisamos relacionar h_f com o comprimento L do trecho. A fórmula usada comumente para perda de carga por atrito em tubulações é a fórmula de Darcy–Weisbach:
h_f = f \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g},
onde
  • f = fator de atrito (adimensional, depende de Reynolds e rugosidade),
  • L = comprimento do trecho considerado (m),
  • D = diâmetro da tubulação (m).
    Substituindo h_f em \Delta P = \rho g h_f temos:
\Delta P = \rho g \left( f \frac{L}{D}\frac{v^2}{2g} \right).
Observe que o g aparece no numerador e denominador e cancela:
\Delta P = \rho f \frac{L}{D}\frac{v^2}{2}.

Passo 5

Da expressão final
\Delta P = \rho f \frac{v^2}{2D}\; L,
vemos claramente que, para um mesmo fluido ( \rho fixo), mesma tubulação ( D fixo) e mesma velocidade ( v fixo), todos os fatores multiplicativos são constantes exceto L. Portanto
\Delta P \propto L.
Assim a razão entre as quedas é igual à razão entre os comprimentos:
\frac{\Delta P_{3}}{\Delta P_{12}}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.
Logo
\Delta P_{3}=\frac{1}{4}\,\Delta P_{12}=0,25\times\Delta P_{12}.

Resposta

A. \Delta P_{3}=0,25 \times \Delta P_{12}

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