Exerc. 5) Determine a razão de diâmetros entre modelo e protótipo, para uma turbina d’água que deve produzir 22[\mathrm{MW}] a 100[\mathrm{rpm}], a partir de uma carga de 16[\mathrm{~m}], enquanto espera-se produzir 41[\mathrm{~kW}] no modelo com uma carga de 5[\mathrm{~m}].

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o diâmetro do modelo (
D_m
) e do protótipo (
D_p
) de uma turbina d’água usando leis de semelhança hidráulica. Temos: potência do protótipo
P_p=22, \mathrm{MW}, giro
N_p=100, \mathrm{rpm}, carga
H_p=16, \mathrm{m}; e no modelo
P_m=41, \mathrm{kW},
H_m=5, \mathrm{m}. Vamos usar as leis de semelhança que relacionam carga e potência em turbomáquinas geometricamente semelhantes.

Passo 2

Como em semelhança hidráulica a carga dinâmica obedece
H\;\propto\;\frac{(N\,D)^2}{g}
temos a igualdade de coeficiente de carga entre modelo e protótipo:
\frac{H_m}{H_p} =\Bigl(\frac{N_m}{N_p}\Bigr)^2\Bigl(\frac{D_m}{D_p}\Bigr)^2.

Passo 3

Também a potência hidráulica segue
P \;\propto\;\rho\,g\,Q\,H,
e na semelhança hidráulica o fluxo escala como
Q\;\propto\;D^2\,(N\,D) \;\Longrightarrow\; P\;\propto\;\rho\,g\,N^3\,D^5.
Logo, entre modelo e protótipo
\frac{P_m}{P_p} =\Bigl(\frac{N_m}{N_p}\Bigr)^3 \Bigl(\frac{D_m}{D_p}\Bigr)^5.

Passo 4

Eliminamos \tfrac{N_m}{N_p} usando a relação do passo 2:
\frac{N_m}{N_p} =\sqrt{\frac{H_m}{H_p}}\, \frac{D_p}{D_m}.
Substituindo em \tfrac{P_m}{P_p}:
\frac{P_m}{P_p} =\Bigl(\sqrt{\tfrac{H_m}{H_p}}\;\tfrac{D_p}{D_m}\Bigr)^3 \Bigl(\tfrac{D_m}{D_p}\Bigr)^5 =\Bigl(\tfrac{H_m}{H_p}\Bigr)^{\tfrac32} \Bigl(\tfrac{D_m}{D_p}\Bigr)^2.
Dessa forma,
\Bigl(\tfrac{D_m}{D_p}\Bigr)^2 =\frac{P_m/P_p}{(H_m/H_p)^{3/2}} \;\Longrightarrow\; \frac{D_m}{D_p} =\sqrt{\frac{P_m/P_p}{(H_m/H_p)^{3/2}}}.

Passo 5

Agora é só substituir os valores numéricos (convertendo
P_m=41, \mathrm{kW}=0,041, \mathrm{MW}):
\frac{P_m}{P_p} =\frac{0,041}{22} \approx 0,0018636, \quad \frac{H_m}{H_p} =\frac{5}{16}=0,3125.
Logo
\frac{D_m}{D_p} =\sqrt{\frac{0,0018636}{(0,3125)^{3/2}}} \approx \sqrt{\frac{0,0018636}{0,1746}} \approx \sqrt{0,01068} \approx 0,1033.

Resposta

\frac{D_{\text{modelo}}}{D_{\text{protótipo}}}\approx0{,}103.ó

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