Exerc. 2) Determine a potência de uma bomba centrifuga que possui um rotor de diâmetro d_{5}=110[\mathrm{~mm}], e com abertura (altura das pás) de b_{5}=10[\mathrm{~mm}], na saída, onde o ângulo construtivo é de \beta_{5}=45^{\circ}. O diâmetro à entrada é igual a d_{4}=60[\mathrm{~mm}]. Sabe-se que a bomba opera com uma rotação de 1700[\mathrm{rpm}], produzindo uma vazão de 12 \times 10^{-3}\left[\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\right]. Quais seriam os valores de vazão e da carga se a mesma máquina fosse posta a operar a 3500[\mathrm{rpm}] ? Considere que a entrada é totalmente axial.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais: (a) determinar a potência fornecida pela bomba quando ela opera a \,1700\,[\mathrm{rpm}] com vazão \,Q_1=12\times10^{-3}\,[\mathrm{m^3/s}]; (b) calcular a nova vazão e a nova carga (head) quando a mesma bomba passa a operar a \,3500\,[\mathrm{rpm}]. Informações fornecidas:
d_{5}=110\,[\mathrm{mm}]=0{,}11\,[\mathrm{m}],
b_{5}=10\,[\mathrm{mm}]=0{,}01\,[\mathrm{m}],
\beta_{5}=45^\circ,
d_{4}=60\,[\mathrm{mm}]=0{,}06\,[\mathrm{m}],
n_1=1700\,[\mathrm{rpm}],
Q_1=12\times10^{-3}\,[\mathrm{m^3/s}],
n_2=3500\,[\mathrm{rpm}].
Observação: o enunciado diz que a entrada é totalmente axial (logo o componente tangencial da velocidade absoluta na entrada é zero). Vou assumir fluido água com densidade \rho=1000\,[\mathrm{kg/m^3}] e gravidade g=9{,}81\,[\mathrm{m/s^2}] para calcular potência hidráulica.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a velocidade meridional (ou axial/radial, dependendo da montagem) na saída do rotor, que eu chamo de c_{m5}. A área de escoamento na saída é a circunferência vezes a altura das pás:
A_5=\pi d_5 b_5.
Pela continuidade:
c_{m5}=\dfrac{Q_1}{A_5}=\dfrac{Q_1}{\pi d_5 b_5}.
Substituindo numericamente:
A_5=\pi\cdot(0{,}11)\cdot(0{,}01)=\pi\cdot0{,}0011\\ \mathrm{m^2},
c_{m5}=\dfrac{0{,}012}{\pi\cdot0{,}0011}\approx3{,}47222\\ \mathrm{m/s}.
(Explicação didática: A_5 é o perímetro circular (\pi d_5) multiplicado pela altura das pás (b_5). Dividindo a vazão pela área obtemos a velocidade média que atravessa essa seção.)

Passo 3

Agora precisamos do componente tangencial da velocidade absoluta na saída, c_{u5}. Usamos o triângulo de velocidades relativo ao perfil da pá: o ângulo construtivo \beta_5 é o ângulo entre a velocidade relativa \mathbf{w}_5 e a direção tangencial. A relação trigonométrica é
\tan\beta_5=\dfrac{c_{m5}}{u_5-c_{u5}},
onde u_5 é a velocidade periférica do rotor na saída:
u_5=\omega r_5=\dfrac{2\pi n_1}{60}\cdot\dfrac{d_5}{2}=\dfrac{\pi d_5 n_1}{60}.
Isolando c_{u5}:
c_{u5}=u_5-\dfrac{c_{m5}}{\tan\beta_5}.
Como \beta_5=45^\circ, temos \tan45^\circ=1, portanto simplifica para
c_{u5}=u_5-c_{m5}.
Calculemos u_5:
u_5=\dfrac{\pi\cdot0{,}11\cdot1700}{60}\approx9{,}7834\\ \mathrm{m/s}.
Logo
c_{u5}=9{,}7834-3{,}47222\approx6{,}3112\\ \mathrm{m/s}.
(Explicação didática: u_5 é a velocidade do bordo do rotor; a diferença u_5-c_{u5} é a componente tangencial da velocidade relativa que aparece no triângulo de velocidades, e \tan\beta relaciona essa componente com a componente meridional.)

Passo 4

Aplicamos a equação de Euler para máquinas rotativas (variação de energia por unidade de massa causada pelas forças tangenciais):
\Delta h = u_5\,c_{u5} - u_4\,c_{u4}.
Como a entrada é totalmente axial, o componente tangencial absoluto na entrada é zero: c_{u4}=0. Assim
\Delta h = u_5\,c_{u5}.
Substituindo:
\Delta h \approx 9{,}7834\cdot6{,}3112\approx61{,}74\\ \mathrm{m^2/s^2}.
(Interpretação: \Delta h em \mathrm{m^2/s^2} é energia por unidade de massa; dividindo por g obtemos a carga em metros de coluna de fluido.)

Passo 5

Calculemos a carga (head) associada:
H_1=\dfrac{\Delta h}{g}=\dfrac{61{,}74}{9{,}81}\approx6{,}30\\ \mathrm{m}.
Agora a potência hidráulica (potência transmitida ao fluido) é
P_{h}=\rho g Q_1 H_1.
Usando \rho=1000\,[\mathrm{kg/m^3}]:
P_{h}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}012\cdot6{,}30\approx741\\ \mathrm{W}.
(Comentário: normalmente na prática haveria perdas e eficiência da bomba; aqui calculamos a potência hidráulica ideal necessária. Se você tivesse a eficiência \eta, a potência eixo seria P_{\text{eixo}}=P_{h}/\eta.)

Passo 6

Agora a segunda parte: operar a bomba a \,n_2=3500\,[\mathrm{rpm}]. Usamos as leis de afinidade (affinity laws) para bombas centrífugas: para mesma geometria e número de Reynolds suficiente,
Q\propto n,\qquad H\propto n^2,\qquad P\propto n^3.
Logo:
Q_2=Q_1\cdot\dfrac{n_2}{n_1},
H_2=H_1\cdot\left(\dfrac{n_2}{n_1}\right)^2.
Calculando:
\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{3500}{1700}\approx2{,}05882,
Q_2=0{,}012\cdot2{,}05882\approx0{,}0247059\\ \mathrm{m^3/s}\approx2{,}47\times10^{-2}\\ \mathrm{m^3/s},
H_2=6{,}30\cdot(2{,}05882)^2\approx6{,}30\cdot4{,}238\approx26{,}7\\ \mathrm{m}.
(Explicação didática: as leis de afinidade vêm do fato de que a velocidade periférica u escala com n; assim as componentes de velocidade e as energias escalonam com potências de n. Na prova, se pedirem mudança de regime, use essas relações.)

Passo 7

Resumo numérico final dos resultados obtidos:
  • Carga na condição inicial: \,H_1\approx6{,}30\,[\mathrm{m}].
  • Potência hidráulica na condição inicial: \,P_h\approx741\,[\mathrm{W}].
  • Vazão à nova rotação \,n_2=3500\,[\mathrm{rpm}]: \,Q_2\approx2{,}47\times10^{-2}\,[\mathrm{m^3/s}].
  • Carga à nova rotação: \,H_2\approx26{,}7\,[\mathrm{m}].

Resposta

P\approx741\\ \mathrm{W}\n Q_{3500}\approx2{,}47\times10^{-2}\\ \mathrm{m^3/s}\n H_{3500}\approx26{,}7\\ \mathrm{m}

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