Exerćció 4: Considere a função
dada por
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede para analisar o limite
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O ponto onde avaliamos é
. - Calcular
em : . Logo pertence à região onde vale a primeira definição (porque ). - A expressão do limite envolve apenas variações em
(fixamos e ).]
Passo 2
Verificar que, para
suficientemente pequeno, os pontos
também ficam na mesma região (primeira peça), para podermos usar a mesma fórmula para
.
Calcule
com
:
Queremos garantir que
. Observe que, se
, então
e
, portanto
e daí
Conclusão: existe um intervalo
em torno de
tal que para todo
nesse intervalo temos
. Logo para esses
podemos usar a mesma expressão
tanto em
quanto em
.
Passo 3
Escrever explicitamente a diferença quociente usando a fórmula da primeira peça (válida para
):
Portanto, para
(e
),
Passo 4
Avaliar o limite usando a técnica do conjugado (para remover a raiz no numerador). Multiplicando numerador e denominador por
temos
Simplificando por
(para
):
Agora tomamos
. Como
, o limite é
Passo 5
Comentário didático (fórmula alternativa mais curta): Como para
pequeno estamos na região
, podemos ver o limite como a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Sabendo que
e aplicando a regra da cadeia:
logo
Avaliado em
dá
, coincidente com o resultado obtido pelo cálculo direto acima. Esta é uma forma rápida e segura de ver o mesmo resultado quando a função é diferenciável na região.
Resposta
O limite existe e vale
.