Exerćció 4: Considere a função f: D \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \text { se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25 \\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, \text { se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 36\end{array}\right.
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1,2+h)-f(1,2)}{h}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & \text{se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25,\\[4pt] \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, & \text{se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2}\leqslant36, \end{cases}
e pede para analisar o limite
\lim_{h\to0}\frac{f(1,2+h)-f(1,2)}{h}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O ponto onde avaliamos é (1,2).
  • Calcular x^{2}+y^{2} em (1,2): 1^{2}+2^{2}=5. Logo (1,2) pertence à região onde vale a primeira definição f(x,y)=8-\sqrt{x^{2}+y^{2}} (porque 5<25).
  • A expressão do limite envolve apenas variações em y (fixamos x=1 e y=2+h).]

Passo 2

Verificar que, para h suficientemente pequeno, os pontos (1,2+h) também ficam na mesma região (primeira peça), para podermos usar a mesma fórmula para f(1,2+h).
Calcule x^{2}+(2+h)^{2} com x=1:
1^{2}+(2+h)^{2}=5+4h+h^{2}.
Queremos garantir que 5+4h+h^{2}<25. Observe que, se |h|<2, então 4|h|<8 e h^{2}<4, portanto
4|h|+h^{2}<8+4=12,
e daí
5+4h+h^{2}\le 5+4|h|+h^{2}<5+12=17<25.
Conclusão: existe um intervalo |h|<2 em torno de 0 tal que para todo h nesse intervalo temos 1^{2}+(2+h)^{2}<25. Logo para esses h podemos usar a mesma expressão f(x,y)=8-\sqrt{x^{2}+y^{2}} tanto em f(1,2+h) quanto em f(1,2).

Passo 3

Escrever explicitamente a diferença quociente usando a fórmula da primeira peça (válida para |h|<2):
f(1,2+h)=8-\sqrt{1+(2+h)^{2}}=8-\sqrt{5+4h+h^{2}},
f(1,2)=8-\sqrt{5}.
Portanto, para h\neq0 (e |h|<2),
\frac{f(1,2+h)-f(1,2)}{h} =\frac{\bigl(8-\sqrt{5+4h+h^{2}}\bigr)-\bigl(8-\sqrt{5}\bigr)}{h} =-\frac{\sqrt{5+4h+h^{2}}-\sqrt{5}}{h}.

Passo 4

Avaliar o limite usando a técnica do conjugado (para remover a raiz no numerador). Multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5+4h+h^{2}}+\sqrt{5} temos
-\frac{\sqrt{5+4h+h^{2}}-\sqrt{5}}{h} =-\frac{(5+4h+h^{2})-5}{h\bigl(\sqrt{5+4h+h^{2}}+\sqrt{5}\bigr)} =-\frac{4h+h^{2}}{h\bigl(\sqrt{5+4h+h^{2}}+\sqrt{5}\bigr)}.
Simplificando por h (para h\neq0):
-\frac{4+h}{\sqrt{5+4h+h^{2}}+\sqrt{5}}.
Agora tomamos h\to0. Como \sqrt{5+4h+h^{2}}\to\sqrt{5}, o limite é
\lim_{h\to0}-\frac{4+h}{\sqrt{5+4h+h^{2}}+\sqrt{5}} =-\frac{4}{2\sqrt{5}} =-\frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Comentário didático (fórmula alternativa mais curta): Como para h pequeno estamos na região f(x,y)=8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, podemos ver o limite como a derivada parcial de f em relação a y no ponto (1,2). Sabendo que \dfrac{d}{dt}\sqrt{t}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}} e aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
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\frac{\partial}{\partial y}\bigl(8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)=-\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Avaliado em (1,2) -\dfrac{2}{\sqrt{5}}, coincidente com o resultado obtido pelo cálculo direto acima. Esta é uma forma rápida e segura de ver o mesmo resultado quando a função é diferenciável na região.

Resposta

O limite existe e vale -\dfrac{2}{\sqrt{5}}.

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