Exerćció 4: Considere a função f: D \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \text { se } 0 \leqslant x^{2}+y^{2}<25 \\sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, \text { se } 25 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 36\end{array}\right.
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h, 2)-f(1,2)}{h}

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x,y)=\begin{cases} 8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }0\le x^{2}+y^{2}<25,\\[4pt] \sqrt{36-x^{2}-y^{2}}, & \text{se }25\le x^{2}+y^{2}\le 36, \end{cases}
e pede para decidir se o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h,2)-f(1,2)}{h}
existe, e, quando existir, encontrar seu valor. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O ponto onde estamos avaliando é (1,2).
  • Para decidir qual ramo da função usar perto de (1,2) precisamos olhar para x^{2}+y^{2} em torno desse ponto.]

Passo 2

Calculo x^{2}+y^{2} no ponto (1,2):
(1)^{2}+(2)^{2}=1+4=5.
Como 5<25, o ponto (1,2) pertence ao primeiro ramo da definição, isto é, numa vizinhança suficiente de (1,2) vale
f(x,y)=8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para justificar que podemos usar esse ramo quando h é pequeno, escrevo o raio ao quadrado em (1+h,2):
(1+h)^{2}+2^{2}=5+2h+h^{2}.
Escolhendo, por exemplo, |h|<3 temos 5+2h+h^{2}\le 5+6+9=20<25. Logo, para todos os h com |h|<3 o ponto (1+h,2) também fica no primeiro ramo. Assim o limite pedido pode ser calculado usando f(x,y)=8-\sqrt{x^{2}+y^{2}} para h perto de 0.

Passo 3

Escrevo a diferença que aparece no quociente usando o ramo adequado:
f(1+h,2)=8-\sqrt{(1+h)^{2}+2^{2}}=8-\sqrt{5+2h+h^{2}}.
Também
f(1,2)=8-\sqrt{5}.
Portanto o quociente fica
\frac{f(1+h,2)-f(1,2)}{h} =\frac{\bigl(8-\sqrt{5+2h+h^{2}}\bigr)-\bigl(8-\sqrt{5}\bigr)}{h} =\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5+2h+h^{2}}}{h}.

Passo 4

Para calcular o limite racionalizo o numerador (multiplico por conjugado):
\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5+2h+h^{2}}}{h} =\frac{\bigl(\sqrt{5}-\sqrt{5+2h+h^{2}}\bigr)\bigl(\sqrt{5}+\sqrt{5+2h+h^{2}}\bigr)} {h\bigl(\sqrt{5}+\sqrt{5+2h+h^{2}}\bigr)}.
O numerador simplifica:
\bigl(\sqrt{5}\bigr)^{2}-\bigl(\sqrt{5+2h+h^{2}}\bigr)^{2} =5-(5+2h+h^{2})=-(2h+h^{2}).
Portanto
\frac{\sqrt{5}-\sqrt{5+2h+h^{2}}}{h} =\frac{-(2h+h^{2})}{h\bigl(\sqrt{5}+\sqrt{5+2h+h^{2}}\bigr)} =\frac{-(2+h)}{\sqrt{5}+\sqrt{5+2h+h^{2}}}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando h\to 0. As raízes no denominador são funções contínuas, então posso substituir h=0 no denominador:
\lim_{h\to 0}\frac{-(2+h)}{\sqrt{5}+\sqrt{5+2h+h^{2}}} =\frac{-(2+0)}{\sqrt{5}+\sqrt{5}}=\frac{-2}{2\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}.
Logo o limite existe e vale -\dfrac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Comentário didático curto (opcional): isso também é consistente com a derivada parcial em x do ramo f(x,y)=8-\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
e avaliando em (1,2) obtém-se -\dfrac{1}{\sqrt{5}}, mesma resposta que encontramos pela racionalização do quociente.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{5}}

Exercícios relacionados