Exerćció 4: Considere a função
dada por
c) Diga, justificando, se cada um dos limites a seguir existem. Nos casos em que existirem os limites, determine o seu valor.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes
e pede para decidir se o limite
existe, e, quando existir, encontrar seu valor. Informações úteis extraídas do enunciado:
- O ponto onde estamos avaliando é
. - Para decidir qual ramo da função usar perto de
precisamos olhar para em torno desse ponto.]
Passo 2
Calculo
no ponto
:
Como
, o ponto
pertence ao primeiro ramo da definição, isto é, numa vizinhança suficiente de
vale
Para justificar que podemos usar esse ramo quando
é pequeno, escrevo o raio ao quadrado em
:
Escolhendo, por exemplo,
temos
. Logo, para todos os
com
o ponto
também fica no primeiro ramo. Assim o limite pedido pode ser calculado usando
para
perto de
.
Passo 3
Escrevo a diferença que aparece no quociente usando o ramo adequado:
Também
Portanto o quociente fica
Passo 4
Para calcular o limite racionalizo o numerador (multiplico por conjugado):
O numerador simplifica:
Portanto
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. As raízes no denominador são funções contínuas, então posso substituir
no denominador:
Logo o limite existe e vale
.
Passo 6
Comentário didático curto (opcional): isso também é consistente com a derivada parcial em
do ramo
. Aplicando a regra da cadeia,
e avaliando em
obtém-se
, mesma resposta que encontramos pela racionalização do quociente.