Exerćcio 2:
Determine V(s) se v(t)=20 \cdot(t-10) \cdot e^{-4(t-10)} \cdot u(t-12)

Passo 1

O enunciado fornece a função temporal
v(t)=20\cdot (t-10)\cdot e^{-4(t-10)}\cdot u(t-12),
onde u(t-12) é a função degrau unitário deslocada. A tarefa é determinar V(s), a transformada de Laplace de v(t).
Informações relevantes dadas:
  • A função é multiplicada por u(t-12), então ela vale zero para t<12.
  • Há termos com deslocamentos distintos dentro da expressão: aparece t-10 e também u(t-12).
  • Queremos a transformada de Laplace V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}.

Passo 2

Primeiro precisamos escrever a função de maneira que possamos aplicar a propriedade de deslocamento no tempo (time shift). Observe que podemos escrever t-10 em função de t-12:
t-10 = (t-12)+2.
Também escrevemos o expoente:
e^{-4(t-10)} = e^{-4((t-12)+2)} = e^{-8}\,e^{-4(t-12)}.
Substituindo essas duas expressões em v(t) obtemos:
v(t)=20\big((t-12)+2\big)\,e^{-8}\,e^{-4(t-12)}\,u(t-12).

Passo 3

Fatorando a constante e^{-8} e o fator numérico 20, temos
v(t)=20\,e^{-8}\,\big((t-12)+2\big)\,e^{-4(t-12)}\,u(t-12).
Definindo a nova função (para trabalhar com a propriedade de deslocamento)
g(\tau)=(\tau+2)\,e^{-4\tau},\quad \tau\ge 0,
podemos ver v(t) como
v(t)=20\,e^{-8}\; g(t-12)\; u(t-12).

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo (time-shifting) da transformada de Laplace. Ela diz:
\text{Se } w(t)=f(t-a)\,u(t-a)\text{ com }a>0,\text{ então } \mathcal{L}\{w(t)\}=e^{-a s}F(s),ã
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} é a transformada da função não deslocada f(t). Aqui a=12 e f(t)=20\,e^{-8}\,g(t) (constante multiplicativa pode ser tirada fora da transformada).
Portanto
V(s)=e^{-12 s}\; \big(20\,e^{-8}\big)\; G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}.

Passo 5

Calculamos agora G(s) com g(t)=(t+2)e^{-4t}. Separe em duas parcelas:
g(t)=t\,e^{-4t}+2\,e^{-4t}.
Assim
G(s)=\mathcal{L}\{t\,e^{-4t}\}+2\,\mathcal{L}\{e^{-4t}\}.

Passo 6

Usamos fórmulas básicas da transformada de Laplace:
  • \mathcal{L}\{e^{-a t}\}=\dfrac{1}{s+a} para \operatorname{Re}(s)>-a.
  • Uma forma útil é \mathcal{L}\{t\,f(t)\} = -\dfrac{d}{ds}F(s), onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Aplicando isso a t e^{-4t}: primeiro \mathcal{L}\{e^{-4t}\} = \dfrac{1}{s+4}, então
\mathcal{L}\{t\,e^{-4t}\} = -\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{s+4}\right) = \frac{1}{(s+4)^2}.
Também
\mathcal{L}\{e^{-4t}\}=\frac{1}{s+4}.

Passo 7

Substituindo essas expressões em G(s):
G(s)=\frac{1}{(s+4)^2}+2\cdot\frac{1}{s+4}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
G(s)=\frac{1+2(s+4)}{(s+4)^2}=\frac{2s+9}{(s+4)^2}.

Passo 8

Voltando para V(s),
V(s)=e^{-12 s}\;20\,e^{-8}\; \frac{2s+9}{(s+4)^2}.
Podemos multiplicar 20 pelo numerador se quisermos:
V(s)=e^{-12 s}\; e^{-8}\; \frac{40s+180}{(s+4)^2},
ou manter a forma factorizada:
V(s)=20\,e^{-8}\,e^{-12 s}\,\frac{2s+9}{(s+4)^2}.

Passo 9

Comentário sobre a região de convergência (útil em prova): as transformadas usadas exigem \operatorname{Re}(s)>-4. O deslocamento multiplicativo e^{-12s} não altera a região vertical de convergência, portanto a ROC é \operatorname{Re}(s)>-4.

Resposta

V(s)=20\,e^{-8}\,e^{-12 s}\,\frac{2s+9}{(s+4)^2}

Exercícios relacionados