Exerćcio 2:
Determine
se
Determine
Passo 1
O enunciado fornece a função temporal
onde
é a função degrau unitário deslocada. A tarefa é determinar
, a transformada de Laplace de
.
Informações relevantes dadas:
- A função é multiplicada por
, então ela vale zero para . - Há termos com deslocamentos distintos dentro da expressão: aparece
e também . - Queremos a transformada de Laplace
.
Passo 2
Primeiro precisamos escrever a função de maneira que possamos aplicar a propriedade de deslocamento no tempo (time shift). Observe que podemos escrever
em função de
:
Também escrevemos o expoente:
Substituindo essas duas expressões em
obtemos:
Passo 3
Fatorando a constante
e o fator numérico
, temos
Definindo a nova função (para trabalhar com a propriedade de deslocamento)
podemos ver
como
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo (time-shifting) da transformada de Laplace. Ela diz:
onde
é a transformada da função não deslocada
. Aqui
e
(constante multiplicativa pode ser tirada fora da transformada).
Portanto
onde
.
Passo 5
Calculamos agora
com
. Separe em duas parcelas:
Assim
Passo 6
Usamos fórmulas básicas da transformada de Laplace:
-
para . - Uma forma útil é
, onde . Aplicando isso a : primeiro , então
Também
Passo 7
Substituindo essas expressões em
:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Passo 8
Voltando para
,
Podemos multiplicar
pelo numerador se quisermos:
ou manter a forma factorizada:
Passo 9
Comentário sobre a região de convergência (útil em prova): as transformadas usadas exigem
. O deslocamento multiplicativo
não altera a região vertical de convergência, portanto a ROC é
.