Exerćcio 2:
Determine
se
Determine
Passo 1
O enunciado fornece a função temporal
onde
é o degrau unitário deslocado (ou seja, a função é zero para
). A tarefa é determinar a transformada de Laplace
dessa função.
Informações dadas:
- A expressão explícita de
é . - A função é ativada (não nula) apenas para
por causa de .
O que se pede:
- Calcular
.
Passo 2
Relembrando um teorema importante (segunda propriedade de deslocamento no tempo, explicação didática):
- Se uma função pode ser escrita como
com , então a transformada de Laplace é
onde
.
Pequena prova/justificação (passo a passo):
Fazendo a mudança de variável
(logo
, quando
tem
):
Isso mostra por que o fator exponencial
aparece.
Passo 3
Colocar
na forma
para aplicar o teorema. Observação simples de manipulação algébrica:
então
Logo podemos escrever
Assim, definimos
e então
com
.
Passo 4
Calcular a transformada
. Usando a definição:
A integral é a integral exponencial padrão:
desde que
, isto é
. Portanto
Passo 5
Aplicar a propriedade de deslocamento no tempo com
:
Logo
com região de convergência
.
Passo 6
(Verificação alternativa rápida, sem usar a propriedade direta) Fazer a integral direta da definição:
Combinar expoentes:
logo
resultando no mesmo
e confirmando a consistência.