Exerćcio 2:
Determine V(s) se v(t)=20 \cdot e^{-4(t-10)} \cdot u(t-12)

Passo 1

O enunciado fornece a função temporal
v(t)=20\cdot e^{-4(t-10)}\cdot u(t-12)
onde u(t-12) é o degrau unitário deslocado (ou seja, a função é zero para t<12). A tarefa é determinar a transformada de Laplace V(s) dessa função.
Informações dadas:
  • A expressão explícita de v(t) é 20\cdot e^{-4(t-10)}\cdot u(t-12).
  • A função é ativada (não nula) apenas para t\ge 12 por causa de u(t-12).
O que se pede:
  • Calcular V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}.

Passo 2

Relembrando um teorema importante (segunda propriedade de deslocamento no tempo, explicação didática):
  • Se uma função pode ser escrita como f(t)=g(t-a)\,u(t-a) com a>0, então a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}\,G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt.
Pequena prova/justificação (passo a passo):
\mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=\int_{0}^{\infty} g(t-a)u(t-a)e^{-s t}\,dt =\int_{a}^{\infty} g(t-a)e^{-s t}\,dt.
Fazendo a mudança de variável \tau=t-a (logo t=\tau+a, quando t=a tem \tau=0):
\int_{a}^{\infty} g(t-a)e^{-s t}\,dt=\int_{0}^{\infty} g(\tau)e^{-s(\tau+a)}\,d\tau =e^{-a s}\int_{0}^{\infty} g(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau =e^{-a s}G(s).
Isso mostra por que o fator exponencial e^{-a s} aparece.

Passo 3

Colocar v(t) na forma g(t-12)\,u(t-12) para aplicar o teorema. Observação simples de manipulação algébrica:
t-10=(t-12)+2,
então
e^{-4(t-10)}=e^{-4((t-12)+2)}=e^{-8}\,e^{-4(t-12)}.
Logo podemos escrever
v(t)=20\cdot e^{-8}\cdot e^{-4(t-12)}\cdot u(t-12).
Assim, definimos
g(\tau)=20\,e^{-8}\,e^{-4\tau}\qquad(\tau\ge0),
e então v(t)=g(t-12)\,u(t-12) com a=12.

Passo 4

Calcular a transformada G(s)=\mathcal{L}\{g(\tau)\}. Usando a definição:
G(s)=\int_{0}^{\infty} 20\,e^{-8}\,e^{-4\tau}\,e^{-s\tau}\,d\tau =20\,e^{-8}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)\tau}\,d\tau.
A integral é a integral exponencial padrão:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)\tau}\,d\tau=\frac{1}{s+4},
desde que \operatorname{Re}(s+4)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>-4. Portanto
G(s)=\frac{20\,e^{-8}}{s+4}\qquad(\operatorname{Re}(s)>-4).

Passo 5

Aplicar a propriedade de deslocamento no tempo com a=12:
V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}=e^{-12 s}\,G(s)=e^{-12 s}\cdot\frac{20\,e^{-8}}{s+4}.
Logo
V(s)=\frac{20\,e^{-8}\,e^{-12 s}}{s+4},
com região de convergência \operatorname{Re}(s)>-4.

Passo 6

(Verificação alternativa rápida, sem usar a propriedade direta) Fazer a integral direta da definição:
V(s)=\int_{0}^{\infty} v(t)e^{-s t}\,dt=\int_{12}^{\infty}20\,e^{-4(t-10)}e^{-s t}\,dt.
Combinar expoentes:
-4(t-10)-s t=-(s+4)t+40,
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V(s)=20\,e^{40}\int_{12}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,dt =20\,e^{40}\frac{e^{-(s+4)12}}{s+4} =\frac{20\,e^{40-12(s+4)}}{s+4} =\frac{20\,e^{-8}\,e^{-12 s}}{s+4},
resultando no mesmo V(s) e confirmando a consistência.

Resposta

V(s)=\frac{20\,e^{-8}\,e^{-12 s}}{s+4},\qquad \operatorname{Re}(s)>-4

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