Exerćcio 2:
Determine
se
Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
O que ele pede: determinar
, a transformada de Laplace (unilateral) de
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
é a função degrau unitário deslocada que vale para e para . - A função dentro do produto é
, válida apenas a partir de por causa de .
Passo 2
Lembrete da definição (unilateral) da transformada de Laplace: para uma função
definida para
,
onde
é a variável complexa
. A integral converge quando a parte real de
está numa região que torna a integral finita (essa será a região de convergência que vamos indicar).
Passo 3
Propriedade de deslocamento no tempo (muito útil aqui): se uma função pode ser escrita como
com
, então
onde
Breve justificativa (troca de variável): suponha
. Então, pela definição,
fazendo
obtemos
Passo 4
Identificação para o problema: aqui podemos escolher
pois
. Vamos primeiro calcular
.
Usando a definição,
Usando a definição,
A integral básica
vale quando
. Aqui
, então para
(ou seja,
):
Passo 5
Aplicando a propriedade de deslocamento do Passo 3:
A região de convergência permanece
(mesma condição necessária para
).
Passo 6
Verificação direta por integral (cheiro de segurança): usando a definição com o degrau,
Faço
, então
com a mesma condição
. Confere com a propriedade de deslocamento.
Resposta
Região de convergência: