Exerćcio 2:
Determine V(s) se v(t)=20 \cdot e^{-4(t-12)} \cdot u(t-12)

Passo 1

O enunciado dá a função
v(t)=20\cdot e^{-4(t-12)}\cdot u(t-12).
O que ele pede: determinar V(s), a transformada de Laplace (unilateral) de v(t).
Informações relevantes que temos:
  • u(t-12) é a função degrau unitário deslocada que vale 0 para t<12 e 1 para t\ge12.
  • A função dentro do produto é 20\cdot e^{-4(t-12)}, válida apenas a partir de t=12 por causa de u(t-12).

Passo 2

Lembrete da definição (unilateral) da transformada de Laplace: para uma função x(t) definida para t\ge0,
\mathcal{L}\{x(t)\}=X(s)=\int_{0}^{\infty} x(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é a variável complexa s=\sigma+j\omega. A integral converge quando a parte real de s está numa região que torna a integral finita (essa será a região de convergência que vamos indicar).

Passo 3

Propriedade de deslocamento no tempo (muito útil aqui): se uma função pode ser escrita como f(t-a)\,u(t-a) com a>0, então
\mathcal{L}\{f(t-a)\,u(t-a)\}=e^{-a s}\,F(s),
onde
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt.
Breve justificativa (troca de variável): suponha x(t)=f(t-a)u(t-a). Então, pela definição,
X(s)=\int_{0}^{\infty} f(t-a)u(t-a)e^{-s t}\,dt=\int_{a}^{\infty} f(t-a)e^{-s t}\,dt.
fazendo u=t-a obtemos
X(s)=\int_{0}^{\infty} f(u)\,e^{-s(u+a)}\,du=e^{-a s}\int_{0}^{\infty} f(u)\,e^{-s u}\,du=e^{-a s}F(s).

Passo 4

Identificação para o problema: aqui podemos escolher
f(t)=20\,e^{-4t}\quad\text{e}\quad a=12,
pois f(t-12)=20\,e^{-4(t-12)}. Vamos primeiro calcular F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{20\,e^{-4t}\}.
Usando a definição,
F(s)=20\int_{0}^{\infty} e^{-4t}\,e^{-s t}\,dt=20\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,dt.
A integral básica \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\dfrac{1}{\alpha} vale quando \Re(\alpha)>0. Aqui \alpha=s+4, então para \Re(s+4)>0 (ou seja, \Re(s)>-4):
F(s)=20\cdot\frac{1}{s+4}=\frac{20}{s+4},\qquad \Re(s)>-4.

Passo 5

Aplicando a propriedade de deslocamento do Passo 3:
V(s)=e^{-12 s}\,F(s)=e^{-12 s}\cdot\frac{20}{s+4}=\frac{20\,e^{-12 s}}{s+4}.
A região de convergência permanece \Re(s)>-4 (mesma condição necessária para F(s)).

Passo 6

Verificação direta por integral (cheiro de segurança): usando a definição com o degrau,
V(s)=\int_{0}^{\infty} 20\,e^{-4(t-12)}u(t-12)\,e^{-s t}\,dt=\int_{12}^{\infty}20\,e^{-4(t-12)}e^{-s t}\,dt.
Faço u=t-12, então
V(s)=20\int_{0}^{\infty} e^{-4u}e^{-s(u+12)}\,du=20e^{-12s}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)u}\,du=\frac{20\,e^{-12s}}{s+4},
com a mesma condição \Re(s)>-4. Confere com a propriedade de deslocamento.

Resposta

\displaystyle V(s)=\frac{20\,e^{-12s}}{s+4}
Região de convergência: \Re(s)>-4

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