Exerćcio 2:
Determine
se
Determine
Passo 1
O enunciado dá a função temporal
e pede a transformada
. Dados e pedido:
- Dado:
. - Pedido: determinar
(a transformada de Laplace de ).
Passo 2
O que é
e por que isso importa aqui.
- A função
é a função degrau unitário: para e para . - Como
vem multiplicada por , a integral da transformada de Laplace começa em . Ou seja, basta integrar de a .
Passo 3
Definição da transformada de Laplace que vamos usar.
- Para uma função causal (zero para
), a transformada de Laplace é
- Aqui vamos aplicar essa definição com
no intervalo .
Passo 4
Montando a integral para
.
- Substituindo
na definição:
- Juntando os exponenciais:
Passo 5
Calcular a integral impropria passo a passo.
- A primitiva de
em relação a é , supondo . - Aplicando os limites de
a :
- Para que o termo em
vá para zero é preciso que a parte real de seja positiva, ou seja (vou explicar isso no próximo passo). Sob essa condição,
- Multiplicando por
:
Passo 6
Condição de convergência (região de convergência).
- A integral
converge se e somente se a exponencial decai quando . - Isso acontece quando
, isto é,
- Portanto a expressão
é válida como transformada de Laplace para .
Passo 7
Atalho e verificação rápida (tabela de transformadas).
- Existe uma forma mais direta conhecida: para
real, para . - Aqui
e há um fator multiplicativo , então
o mesmo resultado que obtivemos pela integral, com a mesma condição
.