Exerćcio 2:
Determine V(s) se v(t)=20 \cdot e^{-4 t} \cdot u(t)

Passo 1

O enunciado dá a função temporal v(t) e pede a transformada V(s). Dados e pedido:
  • Dado: v(t)=20\cdot e^{-4 t}\cdot u(t).
  • Pedido: determinar V(s) (a transformada de Laplace de v(t)).

Passo 2

O que é u(t) e por que isso importa aqui.
  • A função u(t) é a função degrau unitário: u(t)=1 para t\ge 0 e u(t)=0 para t<0.
  • Como v(t) vem multiplicada por u(t), a integral da transformada de Laplace começa em t=0. Ou seja, basta integrar de 0 a +\infty.

Passo 3

Definição da transformada de Laplace que vamos usar.
  • Para uma função causal (zero para t<0), a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{v(t)\}=V(s)=\int_{0}^{\infty} v(t)\, e^{-s t}\, dt.
  • Aqui vamos aplicar essa definição com v(t)=20\,e^{-4t} no intervalo t\ge 0.

Passo 4

Montando a integral para V(s).
  • Substituindo v(t) na definição:
V(s)=\int_{0}^{\infty} 20\,e^{-4t}\, e^{-s t}\, dt.
  • Juntando os exponenciais:
V(s)=20\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)\,t}\, dt.

Passo 5

Calcular a integral impropria passo a passo.
  • A primitiva de e^{-(s+4)t} em relação a t é -\dfrac{1}{s+4}e^{-(s+4)t}, supondo s+4\neq 0.
  • Aplicando os limites de 0 a +\infty:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,dt = \left[-\dfrac{1}{s+4}e^{-(s+4)t}\right]_{0}^{\infty}.
  • Para que o termo em t\to\infty vá para zero é preciso que a parte real de s+4 seja positiva, ou seja \operatorname{Re}(s+4)>0 (vou explicar isso no próximo passo). Sob essa condição,
\left[-\dfrac{1}{s+4}e^{-(s+4)t}\right]_{0}^{\infty} = 0 -\left(-\dfrac{1}{s+4}\right) = \dfrac{1}{s+4}.
  • Multiplicando por 20:
V(s)=20\cdot \dfrac{1}{s+4}=\dfrac{20}{s+4}.

Passo 6

Condição de convergência (região de convergência).
  • A integral \int_{0}^{\infty} e^{-(s+4)t}\,dt converge se e somente se a exponencial decai quando t\to\infty.
  • Isso acontece quando \operatorname{Re}(s+4)>0, isto é,
\operatorname{Re}(s)>-4.
  • Portanto a expressão \dfrac{20}{s+4} é válida como transformada de Laplace para \operatorname{Re}(s)>-4.

Passo 7

Atalho e verificação rápida (tabela de transformadas).
  • Existe uma forma mais direta conhecida: para a real, \mathcal{L}\{e^{-a t}u(t)\}=\dfrac{1}{s+a} para \operatorname{Re}(s)>-a.
  • Aqui a=4 e há um fator multiplicativo 20, então
V(s)=20\cdot \dfrac{1}{s+4}=\dfrac{20}{s+4},
o mesmo resultado que obtivemos pela integral, com a mesma condição \operatorname{Re}(s)>-4.

Resposta

\displaystyle V(s)=\dfrac{20}{s+4},\quad \operatorname{Re}(s)>-4

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