Exerćcio 2:
Determine V(s) se v(t) é uma função formada por 3 segmentos de retas que começa em t=0, termina em t=4 e passa pelos pontos (1,5),(2,0),(3,-5) e (4,0).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede: determinar V(s), a transformada de Laplace de v(t).
  • Dados: v(t) é uma função formada por segmentos de reta, definida para t entre 0 e 4, que passa pelos pontos (1,5), (2,0), (3,-5) e (4,0).
  • Observação necessária (assunção): o enunciado diz que a função “começa em t=0”. Como não foi dado explicitamente o valor em t=0, adotarei a suposição natural (comum nesse tipo de exercício de gráfico) de que v(0)=0. Também tomo v(t)=0 para t<0 e v(t)=0 para t>4. Se o valor em t=0 fosse outro, a resposta mudaria — mas sem essa informação, essa suposição é necessária para prosseguir.
Portanto usarei os pontos (assumidos) que definem os nós da função:
(0,0),\\ (1,5),\\ (2,0),\\ (3,-5),\\ (4,0).

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A transformada de Laplace de uma função v(t) (para v(t)=0 para t<0) é
V(s)=\mathcal{L}\{v(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} v(t)\,e^{-st}\,dt.
  • Como v(t)=0 para t>4 (pela definição/assunção), temos
V(s)=\int_{0}^{4} v(t)\,e^{-st}\,dt.
  • Para funções definidas por pedaços, calcula-se V(s) somando as integrais em cada intervalo onde v(t) tem expressão analítica simples.
Também precisamos de duas integrais-padrão que usaremos várias vezes:
\int t e^{-st}\,dt = -e^{-st}\!\left(\frac{t}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)+C, \qquad \int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st}+C.

Passo 3

Vou obter as expressões lineares de v(t) em cada subintervalo. Regra prática: reta entre (t_1,v_1) e (t_2,v_2) tem coeficiente angular m=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1} e equação
v(t)=v_1 + m\,(t-t_1),\quad t_1\le t\le t_2.
Pontos usados (incluindo a suposição em t=0):
(0,0), (1,5), (2,0), (3,-5), (4,0).
Cálculo de cada segmento:
  • Para 0\le t\le 1: entre (0,0) e (1,5):
    m_1=\frac{5-0}{1-0}=5,\qquad v(t)=0+5(t-0)=5t.
  • Para 1\le t\le 2: entre (1,5) e (2,0):
    m_2=\frac{0-5}{2-1}=-5,\qquad v(t)=5-5(t-1)=10-5t.
  • Para 2\le t\le 3: entre (2,0) e (3,-5):
    m_3=\frac{-5-0}{3-2}=-5,\qquad v(t)=0-5(t-2)=-5t+10.
  • Para 3\le t\le 4: entre (3,-5) e (4,0):
    m_4=\frac{0-(-5)}{4-3}=5,\qquad v(t)=-5+5(t-3)=5t-20.
Resumo:
v(t)=\begin{cases} 5t, & 0\le t\le 1,\\[4pt] 10-5t, & 1\le t\le 2,\\[4pt] -5t+10, & 2\le t\le 3,\\[4pt] 5t-20, & 3\le t\le 4,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 4

Montagem da transformada como soma de integrais nos quatro intervalos:
V(s)=\int_{0}^{1}5t\,e^{-st}dt +\int_{1}^{2}(10-5t)\,e^{-st}dt +\int_{2}^{3}(-5t+10)\,e^{-st}dt +\int_{3}^{4}(5t-20)\,e^{-st}dt.
Para simplificar, chamo esses termos de I_1,I_2,I_3,I_4 respectivamente e cálculo um a um usando as primitivas indicadas no Passo 2.

Passo 5

Cálculo de I_1:
I_1=\int_{0}^{1}5t\,e^{-st}dt =5\left[-e^{-st}\!\left(\frac{t}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)\right]_{0}^{1}.
Avalia:
I_1=5\Bigg(-e^{-s}\!\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right) -\big(-1\cdot\frac{1}{s^{2}\!}\big)\Bigg) = \frac{5}{s^{2}} -\frac{5e^{-s}}{s}-\frac{5e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 6

Cálculo de I_2:
I_2=\int_{1}^{2}(10-5t)\,e^{-st}dt =10\int_{1}^{2}e^{-st}dt -5\int_{1}^{2}t e^{-st}dt.
Usando primitivas:
\int_{1}^{2}e^{-st}dt=\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s},
\int_{1}^{2}t e^{-st}dt=\left[-e^{-st}\!\left(\frac{t}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)\right]_{1}^{2} = -e^{-2s}\!\left(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)+e^{-s}\!\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right).
Portanto
I_2=10\cdot\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s} -5\Big(-e^{-2s}\!\left(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)+e^{-s}\!\left(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)\Big).
Fazendo as simplificações (termos iguais se cancelam) obtemos
I_2=\frac{5e^{-s}}{s}+\frac{5e^{-2s}}{s^{2}}-\frac{5e^{-s}}{s^{2}}.

Passo 7

Cálculo de I_3:
I_3=\int_{2}^{3}(-5t+10)\,e^{-st}dt =-5\int_{2}^{3}t e^{-st}dt +10\int_{2}^{3}e^{-st}dt.
Com as primitivas:
\int_{2}^{3}e^{-st}dt=\frac{e^{-2s}-e^{-3s}}{s},
\int_{2}^{3}t e^{-st}dt=\left[-e^{-st}\!\left(\frac{t}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)\right]_{2}^{3} = -e^{-3s}\!\left(\frac{3}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)+e^{-2s}\!\left(\frac{2}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right).
Substituindo e simplificando, chega-se a
I_3=\frac{5e^{-3s}}{s}+\frac{5e^{-3s}}{s^{2}}-\frac{5e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 8

Cálculo de I_4:
I_4=\int_{3}^{4}(5t-20)\,e^{-st}dt =5\int_{3}^{4}t e^{-st}dt -20\int_{3}^{4}e^{-st}dt.
As primitivas dão:
\int_{3}^{4}e^{-st}dt=\frac{e^{-3s}-e^{-4s}}{s},
\int_{3}^{4}t e^{-st}dt=\left[-e^{-st}\!\left(\frac{t}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)\right]_{3}^{4} = -e^{-4s}\!\left(\frac{4}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)+e^{-3s}\!\left(\frac{3}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right).
Substituindo e simplificando obtemos
I_4=-\frac{5e^{-3s}}{s}+\frac{5e^{-3s}}{s^{2}}-\frac{5e^{-4s}}{s^{2}}.

Passo 9

Somando I_1+I_2+I_3+I_4 e simplificando termos semelhantes:
  • Os termos em \dfrac{e^{-ks}}{s} se cancelam (ficam zeros).
  • Os termos em \dfrac{1}{s^{2}} e em \dfrac{e^{-ks}}{s^{2}} combinam da forma final.
O resultado compacto final é
V(s)=\frac{5}{s^{2}}\Big(1-2e^{-s}+2e^{-3s}-e^{-4s}\Big).

Resposta

V(s)=\frac{5}{s^{2}}\Big(1-2e^{-s}+2e^{-3s}-e^{-4s}\Big)

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