Exerćcio 2:
Determine V(s) se v(t) é uma função formada por 3 segmentos de retas que começa em t=0, termina em t=4 e passa pelos pontos (1,5),(2,0),(3,-5) e (4,0).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
Pede: determinar V(s), a transformada de Laplace de v(t).
Dados: v(t) é uma função formada por segmentos de reta, definida para t entre 0 e 4, que passa pelos pontos (1,5), (2,0), (3,-5) e (4,0).
Observação necessária (assunção): o enunciado diz que a função “começa em t=0”. Como não foi dado explicitamente o valor em t=0, adotarei a suposição natural (comum nesse tipo de exercício de gráfico) de que v(0)=0. Também tomo v(t)=0 para t<0 e v(t)=0 para t>4. Se o valor em t=0 fosse outro, a resposta mudaria — mas sem essa informação, essa suposição é necessária para prosseguir.
Portanto usarei os pontos (assumidos) que definem os nós da função: (0,0),\\ (1,5),\\ (2,0),\\ (3,-5),\\ (4,0).
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
A transformada de Laplace de uma função v(t) (para v(t)=0 para t<0) é
Como v(t)=0 para t>4 (pela definição/assunção), temos
V(s)=\int_{0}^{4} v(t)\,e^{-st}\,dt.
Para funções definidas por pedaços, calcula-se V(s) somando as integrais em cada intervalo onde v(t) tem expressão analítica simples.
Também precisamos de duas integrais-padrão que usaremos várias vezes:
\int t e^{-st}\,dt = -e^{-st}\!\left(\frac{t}{s}+\frac{1}{s^{2}}\right)+C, \qquad \int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st}+C.
Passo 3
Vou obter as expressões lineares de v(t) em cada subintervalo. Regra prática: reta entre (t_1,v_1) e (t_2,v_2) tem coeficiente angular m=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1} e equação
v(t)=v_1 + m\,(t-t_1),\quad t_1\le t\le t_2.
Pontos usados (incluindo a suposição em t=0): (0,0), (1,5), (2,0), (3,-5), (4,0).