Sejam
e
dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são dois vetores constantes (ou seja, não dependem de
) e fornece a expressão
A pergunta explícita é: “Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por essa relação.”
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
e são vetores constantes. - Está dada a derivada temporal do vetor posição
, ou seja, . - Não foi dada condição inicial (por exemplo,
); portanto qualquer integração terá uma constante vetorial arbitrária.
Passo 2
O que é o “vetor velocidade”? Vamos revisar: se
é o vetor posição de uma partícula em função do tempo, o vetor velocidade
é definido por derivada temporal de
:
Aqui a notação
já representa essa derivada. Em palavras: velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo. Como
e
são constantes, qualquer operação de derivação ou integração com potências de
segue as regras usuais do cálculo (regra da potência).
Passo 3
Interpretação direta do enunciado: o enunciado já nos deu a derivada
. Pelo item anterior, o vetor velocidade é exatamente essa derivada. Portanto, sem fazer nenhum outro passo, temos
Isto responde literalmente a pergunta pedida (o vetor velocidade é a expressão dada).
Passo 4
Para deixar ainda mais claro, escrevo a expressão em componentes. Se escrevermos
então a velocidade em componentes é
Isso mostra que cada componente da velocidade é um polinômio de grau 2 em
com coeficientes fornecidos pelas componentes de
e
.
Passo 5
(Extra útil para a prova) Se alguém pedisse a posição
em vez da velocidade, bastaria integrar
em relação a
. Usando a regra da potência
, obtemos
onde
é um vetor constante de integração que corresponde à posição inicial
. Sempre verifique derivando:
.
Passo 6
Pequeno exemplo numérico para fixar (só para ver que funciona): se
e
, então
e uma antiderivada é
Derivando
volta-se a
, conferindo consistência.