Sejam \vec{a} e \vec{b} dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
\dot{\vec{r}}_{2}(t)=\vec{a} t^{2}+\vec{b} t.

Passo 1

O enunciado dá que \vec{a} e \vec{b} são dois vetores constantes (ou seja, não dependem de t) e fornece a expressão
\dot{\vec{r}}_{2}(t)=\vec{a}\,t^{2}+\vec{b}\,t.
A pergunta explícita é: “Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por essa relação.”
Informações relevantes listadas:
  • \vec{a} e \vec{b} são vetores constantes.
  • Está dada a derivada temporal do vetor posição \vec{r}_2(t), ou seja, \dot{\vec{r}}_2(t).
  • Não foi dada condição inicial (por exemplo, \vec{r}_2(0)); portanto qualquer integração terá uma constante vetorial arbitrária.

Passo 2

O que é o “vetor velocidade”? Vamos revisar: se \vec{r}(t) é o vetor posição de uma partícula em função do tempo, o vetor velocidade \vec{v}(t) é definido por derivada temporal de \vec{r}(t):
\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Aqui a notação \dot{\vec{r}}_2(t) já representa essa derivada. Em palavras: velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo. Como \vec{a} e \vec{b} são constantes, qualquer operação de derivação ou integração com potências de t segue as regras usuais do cálculo (regra da potência).

Passo 3

Interpretação direta do enunciado: o enunciado já nos deu a derivada \dot{\vec{r}}_2(t). Pelo item anterior, o vetor velocidade é exatamente essa derivada. Portanto, sem fazer nenhum outro passo, temos
\vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}_{2}(t)=\vec{a}\,t^{2}+\vec{b}\,t.
Isto responde literalmente a pergunta pedida (o vetor velocidade é a expressão dada).

Passo 4

Para deixar ainda mais claro, escrevo a expressão em componentes. Se escrevermos
\vec{a}=(a_x,a_y,a_z),\qquad \vec{b}=(b_x,b_y,b_z),
então a velocidade em componentes é
\vec{v}(t)=(a_x t^{2}+b_x t,\; a_y t^{2}+b_y t,\; a_z t^{2}+b_z t).
Isso mostra que cada componente da velocidade é um polinômio de grau 2 em t com coeficientes fornecidos pelas componentes de \vec{a} e \vec{b}.

Passo 5

(Extra útil para a prova) Se alguém pedisse a posição \vec{r}_2(t) em vez da velocidade, bastaria integrar \vec{v}(t) em relação a t. Usando a regra da potência \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C, obtemos
\vec{r}_2(t)=\int \big(\vec{a}\,t^{2}+\vec{b}\,t\big)\,dt =\frac{1}{3}\,\vec{a}\,t^{3}+\frac{1}{2}\,\vec{b}\,t^{2}+\vec{C},
onde \vec{C} é um vetor constante de integração que corresponde à posição inicial \vec{r}_2(0)=\vec{C}. Sempre verifique derivando: \frac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{3}\vec{a}t^{3}+\tfrac{1}{2}\vec{b}t^{2}+\vec{C}\big)=\vec{a}t^{2}+\vec{b}t.

Passo 6

Pequeno exemplo numérico para fixar (só para ver que funciona): se \vec{a}=(1,0,0) e \vec{b}=(0,2,0), então
\vec{v}(t)=(t^{2},\,2t,\,0)
e uma antiderivada é
\vec{r}_2(t)=\left(\tfrac{1}{3}t^{3},\,t^{2},\,0\right)+\vec{C}.
Derivando \vec{r}_2(t) volta-se a \vec{v}(t), conferindo consistência.

Resposta

\vec{v}(t)=\vec{a}\,t^{2}+\vec{b}\,t

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