Sejam \vec{a} e \vec{b} dois vetores constantes. Determinar o vetor velocidade da partícula cujo movimento é descrito por:
\ddot{r}_{1}(t)=\vec{a}+t \ddot{b}

Passo 1

Enunciado e dados importantes: foi dada a aceleração
\ddot{r}_{1}(t)=\vec{a}+t\,\ddot{\vec{b}},
onde \vec{a} e \vec{b} são dois vetores constantes. O que o problema pede é: determinar o vetor velocidade \dot{r}_{1}(t).
Dado que \vec{b} é constante, suas derivadas temporais são nulas, portanto \ddot{\vec{b}}=\vec{0}. Assim a aceleração simplifica para
\ddot{r}_{1}(t)=\vec{a}.

Passo 2

Conceito usado (aula rápida e prática): a aceleração é a derivada temporal da velocidade, ou seja \ddot{r}_{1}(t)=\dfrac{d}{dt}\dot{r}_{1}(t). Para obter a velocidade a partir da aceleração basta integrar a aceleração em relação ao tempo. Integração de vetores é feita componente a componente; integrar um vetor constante é igual a multiplicar esse vetor por t e acrescentar uma constante de integração (que também é vetor). Matematicamente,
\dot{r}_{1}(t)=\int \ddot{r}_{1}(t)\,dt.

Passo 3

Aplicando a integração à aceleração simplificada \ddot{r}_{1}(t)=\vec{a}:
\dot{r}_{1}(t)=\int \vec{a}\,dt.
Como \vec{a} é constante, a integral é direta:
\dot{r}_{1}(t)=\vec{a}\,t+\vec{C},
onde \vec{C} é o vetor constante de integração. Esse vetor \vec{C} corresponde à velocidade inicial da partícula, normalmente denotada por \dot{r}_{1}(0). Podemos escrever \vec{C}=\vec{v}_{0}.

Passo 4

Interpretação prática e exemplo pequeno: se \vec{a}=(1,2,3) e a velocidade inicial for \vec{v}_0=(0,0,0), então
\dot{r}_{1}(t)=(1,2,3)\,t.
Isso mostra como usar a fórmula na prova: multiplica-se o vetor constante por t e soma-se a constante de integração vetorial.

Passo 5

Observação adicional (para não se confundir na prova): se \vec{b} não fosse constante e \ddot{\vec{b}} fosse um vetor não-nulo, a integração da forma original daria
\dot{r}_{1}(t)=\vec{a}\,t+\frac{t^{2}}{2}\,\ddot{\vec{b}}+\vec{v}_{0}.
Mas aqui, como foi dado que \vec{b} é constante, \ddot{\vec{b}}=\vec{0} e o termo em t^{2} some, restando a solução do Passo 3.

Resposta

\dot{r}_{1}(t)=\vec{a}\,t+\vec{v}_{0}

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