Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{2 x^{2}+3 x-2}{x^{2}-3 x-4};

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x se aproxima de 4 pela esquerda (ou seja, x\to4^{-}) da função racional
\frac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-3x-4}.
Informações dadas e pontos importantes a observar:
  • A função é \dfrac{2x^{2}+3x-2}{x^{2}-3x-4}.
  • O ponto de interesse é x=4, e estamos nos aproximando por valores menores que 4 (lado esquerdo).
  • Precisamos descobrir se o limite é um número finito, \pm\infty ou não existe por outro motivo.

Passo 2

Primeiro teste: tentar substituir x=4 diretamente para ver se obtemos algo finito ou uma divisão por zero.
Calcule o numerador em x=4:
2\cdot 4^{2}+3\cdot 4-2 = 2\cdot 16 + 12 - 2 = 32 + 12 - 2 = 42.
Calcule o denominador em x=4:
4^{2}-3\cdot 4-4 = 16 - 12 - 4 = 0.
Logo, ao substituir x=4 obtemos \dfrac{42}{0}: numerador tende a um valor finito não nulo ( 42) e o denominador tende a zero. Isso sugere que o valor do limite será infinito (ou seja, \pm\infty), mas precisamos determinar o sinal.

Passo 3

Regra útil (mini-aula): quando uma função racional tem numerador tendendo a um número finito não nulo e denominador tendendo a zero, o limite tende a \pm\infty. O sinal ( + ou -) é determinado pelo sinal do quociente perto do ponto — ou seja, pelo sinal do numerador e do denominador ao nos aproximarmos do ponto. Como o numerador tende a 42>0, o sinal do quociente será o mesmo do sinal do denominador próximo a x=4. Então precisamos estudar o sinal do denominador quando x se aproxima de 4 pela esquerda.

Passo 4

Para estudar sinais é prático fatorar numerador e denominador. Faço a fatoração (isto também ajuda a ver se há cancelamento de fatores, o que não ocorre aqui):
2x^{2}+3x-2 = (2x-1)(x+2)
x^{2}-3x-4 = (x-4)(x+1)
(Verificação rápida: expandindo os produtos recuperamos os polinômios originais.)
Agora avalio o sinal de cada fator quando x está próximo de 4 vindo pela esquerda (por exemplo, x=3{,}9, mas raciocino com x<4 e muito próximo de 4):
  • 2x-1 em x\approx4: 2\cdot4-1=7>0. Logo 2x-1>0 perto de 4.
  • x+2 em x\approx4: 4+2=6>0. Logo x+2>0 perto de 4.
  • x+1 em x\approx4: 4+1=5>0. Logo x+1>0 perto de 4.
  • x-4 para x\to4^{-}: fica negativo e muito próximo de zero (por exemplo, 3{,}9-4=-0{,}1). Então x-4<0 quando nos aproximamos pela esquerda.
Multiplicando os sinais:
  • Numerador (2x-1)(x+2) é positivo \times positivo = positivo.
  • Denominador (x-4)(x+1) é negativo \times positivo = negativo.
Portanto, perto de x=4 vindo da esquerda, o quociente tem sinal negativo e magnitude que cresce sem limite (porque o denominador tende a 0 em módulo).

Passo 5

Conclusão: como o numerador tende a 42>0 e o denominador tende a 0^{-} quando x\to4^{-}, o quociente tende a -\infty. Interpretação intuitiva: a função tem uma assimptota vertical em x=4; vindo pela esquerda ela vai para -\infty.
Exemplo paralelo (mini-exemplo para fixar): para a função \dfrac{1}{x-4}, ao aproximar x\to4^{-} temos x-4\to0^{-} e \dfrac{1}{x-4}\to -\infty. O comportamento aqui é análogo, só que o numerador é 42 em vez de 1.

Resposta

-\infty

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