Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
se aproxima de
pela esquerda (ou seja,
) da função racional
Informações dadas e pontos importantes a observar:
- A função é
. - O ponto de interesse é
, e estamos nos aproximando por valores menores que (lado esquerdo). - Precisamos descobrir se o limite é um número finito,
ou não existe por outro motivo.
Passo 2
Primeiro teste: tentar substituir
diretamente para ver se obtemos algo finito ou uma divisão por zero.
Calcule o numerador em :
Calcule o numerador em
Calcule o denominador em
:
Logo, ao substituir
obtemos
: numerador tende a um valor finito não nulo (
) e o denominador tende a zero. Isso sugere que o valor do limite será infinito (ou seja,
), mas precisamos determinar o sinal.
Passo 3
Regra útil (mini-aula): quando uma função racional tem numerador tendendo a um número finito não nulo e denominador tendendo a zero, o limite tende a
. O sinal (
ou
) é determinado pelo sinal do quociente perto do ponto — ou seja, pelo sinal do numerador e do denominador ao nos aproximarmos do ponto. Como o numerador tende a
, o sinal do quociente será o mesmo do sinal do denominador próximo a
. Então precisamos estudar o sinal do denominador quando
se aproxima de
pela esquerda.
Passo 4
Para estudar sinais é prático fatorar numerador e denominador. Faço a fatoração (isto também ajuda a ver se há cancelamento de fatores, o que não ocorre aqui):
(Verificação rápida: expandindo os produtos recuperamos os polinômios originais.)
Agora avalio o sinal de cada fator quando
está próximo de
vindo pela esquerda (por exemplo,
, mas raciocino com
e muito próximo de
):
-
em : . Logo perto de . -
em : . Logo perto de . -
em : . Logo perto de . -
para : fica negativo e muito próximo de zero (por exemplo, ). Então quando nos aproximamos pela esquerda.
Multiplicando os sinais:
- Numerador
é positivo positivo = positivo. - Denominador
é negativo positivo = negativo.
Portanto, perto de
vindo da esquerda, o quociente tem sinal negativo e magnitude que cresce sem limite (porque o denominador tende a
em módulo).
Passo 5
Conclusão: como o numerador tende a
e o denominador tende a
quando
, o quociente tende a
. Interpretação intuitiva: a função tem uma assimptota vertical em
; vindo pela esquerda ela vai para
.
Exemplo paralelo (mini-exemplo para fixar): para a função
, ao aproximar
temos
e
. O comportamento aqui é análogo, só que o numerador é
em vez de
.