Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A função cujo limite queremos é
. - Não há outras restrições (por exemplo,
já está no domínio da raiz para grande).
Passo 2
Vou escolher o método de fatorar a potência dominante de
que aparece dentro da raiz. Por que esse método? Porque quando
os termos que crescem mais rápido dominam o comportamento da expressão; aqui a raiz envolve
, cujo efeito é ver-se como uma potência maior que
. Fatorando a potência dominante podemos comparar explicitamente as ordens de grandeza e tirar o limite de forma direta e limpa.
Conceito rápido e necessário (sem jargão): quando
cresce muito, potências mais altas de
crescem muito mais rápido. Por exemplo,
(que é
) cresce mais rápido que
. Se temos
com
, o segundo termo domina e a diferença tende a
. Aqui vamos transformar a expressão para evidenciar esse tipo de comparação.
Passo 3
Reescrevemos a raiz extraindo a potência
(que é a raiz quadrada de
):
Substituindo na expressão original:
Agora fatoramos
em evidência:
Como
, obtemos
Passo 4
Agora analisamos o limite dentro dos parênteses quando
:
-
, porque e . -
, porque e a função raiz quadrada é contínua.
Portanto
Passo 5
Multiplicamos o comportamento limite do parênteses pelo comportamento de
:
-
quando . - O parênteses tende para a constante negativa
.
Produto:
tende para
. Logo a expressão inteira diverge para
.