Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-\sqrt{3 x^{3}+2}\right];

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a +\infty da expressão
x-\sqrt{3x^{3}+2}.
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A função cujo limite queremos é x-\sqrt{3x^{3}+2}.
  • Não há outras restrições (por exemplo, x já está no domínio da raiz para x grande).

Passo 2

Vou escolher o método de fatorar a potência dominante de x que aparece dentro da raiz. Por que esse método? Porque quando x\to+\infty os termos que crescem mais rápido dominam o comportamento da expressão; aqui a raiz envolve x^{3}, cujo efeito é ver-se como uma potência maior que x. Fatorando a potência dominante podemos comparar explicitamente as ordens de grandeza e tirar o limite de forma direta e limpa.
Conceito rápido e necessário (sem jargão): quando x cresce muito, potências mais altas de x crescem muito mais rápido. Por exemplo, x^{3/2} (que é x^{1{,}5}) cresce mais rápido que x. Se temos x - C x^{3/2} com C>0, o segundo termo domina e a diferença tende a -\infty. Aqui vamos transformar a expressão para evidenciar esse tipo de comparação.

Passo 3

Reescrevemos a raiz extraindo a potência x^{3/2} (que é a raiz quadrada de x^{3}):
\sqrt{3x^{3}+2} = x^{3/2}\sqrt{3+\frac{2}{x^{3}}}.
Substituindo na expressão original:
x-\sqrt{3x^{3}+2} \;=\; x - x^{3/2}\sqrt{3+\frac{2}{x^{3}}}.
Agora fatoramos x^{3/2} em evidência:
x - x^{3/2}\sqrt{3+\frac{2}{x^{3}}} = x^{3/2}\left(x\cdot x^{-3/2} - \sqrt{3+\frac{2}{x^{3}}}\right).
Como x\cdot x^{-3/2}=x^{-1/2}, obtemos
x-\sqrt{3x^{3}+2} = x^{3/2}\left(x^{-1/2} - \sqrt{3+\frac{2}{x^{3}}}\right).

Passo 4

Agora analisamos o limite dentro dos parênteses quando x\to+\infty:
  • x^{-1/2} \to 0, porque x^{-1/2}=1/\sqrt{x} e \sqrt{x}\to+\infty.
  • \sqrt{3+\dfrac{2}{x^{3}}} \to \sqrt{3}, porque \dfrac{2}{x^{3}}\to0 e a função raiz quadrada é contínua.
Portanto
x^{-1/2} - \sqrt{3+\frac{2}{x^{3}}} \longrightarrow 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3}.

Passo 5

Multiplicamos o comportamento limite do parênteses pelo comportamento de x^{3/2}:
  • x^{3/2}\to+\infty quando x\to+\infty.
  • O parênteses tende para a constante negativa -\sqrt{3}.
Produto: x^{3/2}\cdot\bigl(\text{parênteses}\bigr)ê tende para +\infty\cdot(-\sqrt{3}) = -\infty. Logo a expressão inteira diverge para -\infty.

Resposta

-\infty

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