Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[\frac{2}{t+t^{3}} \cdot \sin (\cos (3 t+2 \pi))\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{t\to -\infty}\left[\frac{2}{t+t^{3}}\cdot \sin\big(\cos(3t+2\pi)\big)\right].
Informações úteis dadas no enunciado que vamos usar: a expressão tem um fator racional \dfrac{2}{t+t^{3}} e um fator trigonométrico \sin(\cos(3t+2\pi)). O limite é quando t tende para -\infty (ou seja, valores de t com módulo muito grande e negativos).

Passo 2

Primeiro, observe e manipule o denominador polinomial:
t+t^{3}=t(1+t^{2}).
Também usamos a propriedade do valor absoluto de um produto:
\left|\frac{2}{t+t^{3}}\cdot \sin\big(\cos(3t+2\pi)\big)\right| = \frac{2}{|t(1+t^{2})|}\cdot\left|\sin\big(\cos(3t+2\pi)\big)\right|.

Passo 3

Agora usamos que a função seno é limitada: para todo x vale |\sin x|\le 1. Portanto,
\left|\sin\big(\cos(3t+2\pi)\big)\right|\le 1
e assim
\left|\frac{2}{t+t^{3}}\cdot \sin\big(\cos(3t+2\pi)\big)\right| \le \frac{2}{|t(1+t^{2})|}.

Passo 4

Para t com |t|\ge 1 temos 1+t^{2}\ge t^{2}. Logo, para |t|\ge 1,
|t(1+t^{2})|\ge |t|\,t^{2}=|t|^{3},
e portanto
\frac{2}{|t(1+t^{2})|}\le \frac{2}{|t|^{3}}.
Assim, para |t|\ge 1,
\left|\frac{2}{t+t^{3}}\cdot \sin\big(\cos(3t+2\pi)\big)\right|\le \frac{2}{|t|^{3}}.

Passo 5

Agora avaliamos o limite da função maiorante: como |t|\to\infty quando t\to -\infty, tem-se
\lim_{t\to -\infty}\frac{2}{|t|^{3}}=0.
Pelo Teorema do Sanduíche (teorema da compressão): se |f(t)|\le g(t) com g(t)\to 0, então f(t)\to 0. Aplicando isto ao nosso f(t)=\dfrac{2}{t+t^{3}}\sin(\cos(3t+2\pi)) e ao maiorante g(t)=\dfrac{2}{|t|^{3}}, concluímos que
\lim_{t\to -\infty}\left[\frac{2}{t+t^{3}}\cdot \sin\big(\cos(3t+2\pi)\big)\right]=0.

Passo 6

Comentário final (rápido e útil): embora \cos(3t+2\pi)=\cos(3t) oscile sem limite quando t\to-\infty, a parte racional \dfrac{2}{t+t^{3}} tende a 0 suficientemente rápido para anular qualquer oscilação do seno composto, por isso o produto tende a 0.

Resposta

0

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