Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A expressão é um polinômio em
, formada por dois termos: e . - O ponto onde fazemos o limite é
(ou seja, cresce sem bound).
Passo 2
Vamos transformar a expressão de forma que fique fácil comparar os termos quando
cresce muito. Uma técnica útil é fatorar a maior potência de
que aparece no polinômio (aqui é
). Faço a fatoração:
Expliquei: multipliquei
por
para obter
e por
para obter
.
Passo 3
Agora analiso o comportamento, quando
, de cada fator em
- O fator
tende para quando , porque potências positivas crescem sem limite. - O fator
tende para , porque quando . (Justificativa: numerador fixo e denominador cresce sem bound — a fração vai a zero.)
Portanto:
Passo 4
Agora uso o fato intuitivo sobre produtos de limites: se um fator tende para
e o outro tende para um número finito e positivo, então o produto tende para
. Aqui temos exatamente esse caso:
e
. Logo o produto diverge para
.
Uma forma alternativa, equivalente e muitas vezes usada em provas: para
suficientemente grande,
(pois
fica pequena). Assim para
grande
e como
, pelo princípio da comparação o limite original também é
.
Passo 5
Conclusão: a parte de maior grau do polinômio (o termo
) domina o comportamento para
. Como o coeficiente desse termo é positivo, o polinômio cresce para
.