Exercício 6. ( 00,15 ponto cada item ) Encontrar os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[7 x^{2}+3 x^{3}\right];

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\left[7x^{2}+3x^{3}\right].
Informações dadas:
  • A expressão é um polinômio em x, formada por dois termos: 7x^{2} e 3x^{3}.
  • O ponto onde fazemos o limite é x\to+\infty (ou seja, x cresce sem bound).

Passo 2

Vamos transformar a expressão de forma que fique fácil comparar os termos quando x cresce muito. Uma técnica útil é fatorar a maior potência de x que aparece no polinômio (aqui é x^{3}). Faço a fatoração:
7x^{2}+3x^{3}=x^{3}\left(3+\frac{7}{x}\right).
Expliquei: multipliquei x^{3} por 3 para obter 3x^{3} e por \dfrac{7}{x} para obter x^{3}\cdot\dfrac{7}{x}=7x^{2}.

Passo 3

Agora analiso o comportamento, quando x\to+\infty, de cada fator em
x^{3}\left(3+\frac{7}{x}\right).
  • O fator x^{3} tende para +\infty quando x\to+\infty, porque potências positivas crescem sem limite.
  • O fator \left(3+\dfrac{7}{x}\right) tende para 3, porque \dfrac{7}{x}\to 0 quando x\to+\infty. (Justificativa: numerador fixo 7 e denominador cresce sem bound — a fração vai a zero.)
Portanto:
\lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{7}{x}\right)=3.

Passo 4

Agora uso o fato intuitivo sobre produtos de limites: se um fator tende para +\infty e o outro tende para um número finito e positivo, então o produto tende para +\infty. Aqui temos exatamente esse caso: x^{3}\to+\infty e \left(3+\dfrac{7}{x}\right)\to 3>0. Logo o produto diverge para +\infty.
Uma forma alternativa, equivalente e muitas vezes usada em provas: para x>0 suficientemente grande, \left(3+\dfrac{7}{x}\right)\ge 2 (pois \dfrac{7}{x} fica pequena). Assim para x grande
7x^{2}+3x^{3}=x^{3}\left(3+\frac{7}{x}\right)\ge 2x^{3},
e como \lim_{x\to+\infty}2x^{3}=+\infty, pelo princípio da comparação o limite original também é +\infty.

Passo 5

Conclusão: a parte de maior grau do polinômio (o termo \,3x^{3}\,) domina o comportamento para x\to+\infty. Como o coeficiente desse termo é positivo, o polinômio cresce para +\infty.

Resposta

+\infty

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