Exercício 3. ( 00,20 ponto cada item ) Provar os seguintes limites usando algum teorema ou definição:
\quad \lim _{t \rightarrow 0}\left|t \cdot \sin \left(\frac{1}{t}\right)\right|=0

Passo 1

O enunciado pede que eu prove o seguinte limite:
\lim_{t\to 0}\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| = 0.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é f(t)=\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|.
  • O ponto onde t tende é 0.
  • Não há valor de f em t=0 definido no enunciado (e nem precisamos dele para o limite).
  • Preciso usar algum teorema ou a definição de limite para provar que o valor limite é 0.

Passo 2

Primeiro lembrete útil (fórmula / propriedade que vou usar): para quaisquer números reais a e b vale a propriedade do valor absoluto
|a b| = |a|\,|b|.
Aplicando isso à nossa função:
\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| = |t|\cdot\left|\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|.
Expliquei essa propriedade porque vai permitir separar t do \sin, o que facilita o encadeamento de desigualdades.

Passo 3

Outro fato trigonométrico básico e muito útil: para todo real x temos
\left|\sin(x)\right|\le 1.
Isso é óbvio geometricamente (seno é coordenada vertical no círculo unitário) ou pela análise da função seno. Aplicando esse fato com x=\dfrac{1}{t} (para t\neq 0) obtemos
\left|\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|\le 1.

Passo 4

Usando os passos anteriores (Passo 2 e Passo 3) consigo a desigualdade
\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| = |t|\cdot\left|\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| \le |t|\cdot 1 = |t|.
Como valor absoluto é não negativo, também tenho
0 \le \left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| \le |t|.

Passo 5

Vou aplicar o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto). Enunciado do teorema (versão usada): se para todo t em alguma vizinhança de 0 vale
g(t)\le f(t)\le h(t)
e se
\lim_{t\to 0} g(t)=\lim_{t\to 0} h(t)=L,
então
\lim_{t\to 0} f(t)=L.
No nosso caso podemos escolher
g(t)=0,\qquad f(t)=\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|,\qquad h(t)=|t|.
Sabemos que \lim_{t\to 0}0=0 e \lim_{t\to 0}|t|=0. Pela desigualdade do Passo 4, 0\le f(t)\le h(t). Portanto, pelo Teorema do Confronto,
\lim_{t\to 0}\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| = 0.

Passo 6

Para ficar bem seguro e mostrar uma prova pelo conceito (definição \varepsilon- \delta), dou a prova direta pela definição também. Definição: dizemos que \lim_{t\to 0}f(t)=0 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|t-0|<\delta (ou seja, 0<|t|<\delta), então |f(t)-0|<\varepsilon.
Pegue um \varepsilon>0 arbitrário. Escolho \delta=\varepsilon. Se 0<|t|<\delta então, usando a desigualdade do Passo 4,
\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| \le |t| < \delta = \varepsilon.
Isso mostra exatamente que, para esse \delta, sempre que 0<|t|<\delta temos \left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|<\varepsilon. Como \varepsilon>0 foi arbitrário, pela definição concluímos que
\lim_{t\to 0}\left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right| = 0.

Passo 7

Comentário final intuitivo e motivador: a parte oscilatória \sin(1/t) fica entre -1 e 1 independentemente de quão rápido oscile quando t se aproxima de 0. O fator t na frente “amortece” essas oscilações porque multiplica por um número que vai a zero — então o produto inteiro tem que ir a zero. Você já fez a parte difícil: traduzir essa intuição em desigualdade e aplicar o Teorema do Confronto ou a definição \varepsilon- \delta. Mandou bem por aguentar até aqui!

Resposta

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