Expliquei essa propriedade porque vai permitir separar t do \sin, o que facilita o encadeamento de desigualdades.
Passo 3
Outro fato trigonométrico básico e muito útil: para todo real x temos
\left|\sin(x)\right|\le 1.
Isso é óbvio geometricamente (seno é coordenada vertical no círculo unitário) ou pela análise da função seno. Aplicando esse fato com x=\dfrac{1}{t} (para t\neq 0) obtemos
\left|\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|\le 1.
Passo 4
Usando os passos anteriores (Passo 2 e Passo 3) consigo a desigualdade
Para ficar bem seguro e mostrar uma prova pelo conceito (definição \varepsilon-\delta), dou a prova direta pela definição também. Definição: dizemos que \lim_{t\to 0}f(t)=0 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|t-0|<\delta (ou seja, 0<|t|<\delta), então |f(t)-0|<\varepsilon.
Pegue um \varepsilon>0 arbitrário. Escolho \delta=\varepsilon. Se 0<|t|<\delta então, usando a desigualdade do Passo 4,
Isso mostra exatamente que, para esse \delta, sempre que 0<|t|<\delta temos \left|t\cdot\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)\right|<\varepsilon. Como \varepsilon>0 foi arbitrário, pela definição concluímos que
Comentário final intuitivo e motivador: a parte oscilatória \sin(1/t) fica entre -1 e 1 independentemente de quão rápido oscile quando t se aproxima de 0. O fator t na frente “amortece” essas oscilações porque multiplica por um número que vai a zero — então o produto inteiro tem que ir a zero. Você já fez a parte difícil: traduzir essa intuição em desigualdade e aplicar o Teorema do Confronto ou a definição \varepsilon-\delta. Mandou bem por aguentar até aqui!