Pede-se:
(a) calcular \displaystyle \lim_{x\to -1} f(x);
(b) calcular \displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} para um x fixo tal que x\neq -1.
Listei as informações relevantes: a expressão racional para x\neq-1 e o valor isolado f(-1)=3. Não vou resolver ainda — só deixei claro o que é pedido e os dados.]
Passo 2
Vamos simplificar a expressão de f quando x\neq -1. Observa o numerador \,2x^{2}+3x+1\,. Vou fatorá-lo: procuro fatores lineares. Testando, nota-se que
2x^{2}+3x+1=(2x+1)(x+1).
Para checar, multiplico: (2x+1)(x+1)=2x^2+2x+x+1=2x^2+3x+1. Como x\neq -1, podemos dividir pelo fator x+1 no denominador sem perigo. Assim, para x\neq -1,
f(x)=\frac{(2x+1)(x+1)}{x+1}=2x+1.
Explicando didaticamente: quando uma fração tem um fator comum no numerador e no denominador, e você está em um ponto onde o denominador não é zero, pode cancelar esse fator. Essa simplificação transforma a função racional numa função afim mais simples para todos os x\neq-1.
Passo 3
Agora calculo o limite pedido em (a). Como para x\neq -1 temos f(x)=2x+1, o comportamento de f(x) quando x\to -1 é o mesmo do polinômio 2x+1. Polinômios são contínuos, então
Comentário didático: embora f(-1)=3 esteja definido de forma diferente, o limite não depende do valor isolado no ponto — depende apenas do comportamento para x próximos de -1. Como a forma simplificada é 2x+1, o limite é -1. Isso é um exemplo clássico de descontinuidade removível: a função tem limite finito -1 em -1, mas foi definida com outro valor (3) no ponto.
Passo 4
Passo para (b): precisamos calcular
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde x é um número fixo com x\neq -1. Didaticamente, esse limite é a definição do quociente incremental que, quando existe, dá a derivada f'(x). Aqui podemos usar a expressão simplificada f(t)=2t+1 para qualquer argumento t diferente de -1. Como x\neq -1 e, para h suficientemente pequeno (mas não zero), x+h\neq -1 também, é seguro usar a forma 2t+1 tanto em t=x quanto em t=x+h.
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2\quad\text{(para \(h\neq 0\) e \(x\neq -1\))}.
Portanto, o limite quando h\to 0 é simplesmente
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2.
Didática extra: isso mostra que, onde a função coincide com a reta 2x+1, sua derivada é a constante 2. Não precisamos fazer contas complicadas porque a função é linear ali — o quociente incremental é independente de h (desde que h\neq 0), o que torna o limite trivial.