Exercício 1. ( OO,4O ponto cada item ) Provar por definição os limites seguintes:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Informações dadas e o que é pedido:
Função:
.
Ponto de aproximação:
(aproximação pela direita).
Valor candidato do limite:
.
Objetivo: mostrar que, segundo a definição de limite lateral (direito), para todo
existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Relembrando a definição (de forma simples): dizer que
significa que dado qualquer
(a “tolerância” vertical), conseguimos encontrar um
(a “tolerância” horizontal) tal que sempre que
estiver no intervalo
então
estará dentro da faixa
, i.e.
. Aqui
e
são números positivos.
Passo 3
Calcule a diferença entre
e
:
Como estamos considerando
, devemos olhar
, então
. Portanto a condição
equivale a
Passo 4
Da desigualdade
isolamos
:
Isto nos diz o que devemos exigir de
: basta escolher
menor ou igual a
. A escolha simples e padrão é
que é positiva sempre que
.
Passo 5
Agora fazemos a prova formal com a escolha
.
Seja arbitrário
. Defina
. Tome qualquer
tal que
. Então, usando os passos anteriores,
Logo sempre que
temos
, que é exatamente a condição da definição de limite lateral.
Passo 6
Concluímos, pela definição de limite à direita, que
Boa! Você acabou de provar o limite diretamente com a definição epsilon-delta — é sempre assim: manipular
e escolher
em função de
.