Exercício 1. ( OO,4O ponto cada item ) Provar por definição os limites seguintes:
\quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}}[2 x-7]=-7.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
\lim_{x\to 0^{+}}[2x-7]=-7.
Informações dadas e o que é pedido:
\quad Função: f(x)=2x-7.
\quad Ponto de aproximação: x\to 0^{+} (aproximação pela direita).
\quad Valor candidato do limite: L=-7.
\quad Objetivo: mostrar que, segundo a definição de limite lateral (direito), para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Relembrando a definição (de forma simples): dizer que \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=L significa que dado qualquer \varepsilon>0 (a “tolerância” vertical), conseguimos encontrar um \delta>0 (a “tolerância” horizontal) tal que sempre que x estiver no intervalo (0,\delta) então f(x) estará dentro da faixa (L-\varepsilon,L+\varepsilon), i.e. |f(x)-L|<\varepsilon. Aqui \varepsilon e \delta são números positivos.

Passo 3

Calcule a diferença entre f(x) e L:
|f(x)-L| = |(2x-7)-(-7)| = |2x|.
Como estamos considerando x\to 0^{+}, devemos olhar x>0, então |2x|=2x. Portanto a condição |f(x)-L|<\varepsilon equivale a
2x<\varepsilon.

Passo 4

Da desigualdade 2x<\varepsilon isolamos x:
x<\frac{\varepsilon}{2}.
Isto nos diz o que devemos exigir de \delta: basta escolher \delta menor ou igual a \varepsilon/2. A escolha simples e padrão é
\delta := \frac{\varepsilon}{2},
que é positiva sempre que \varepsilon>0.

Passo 5

Agora fazemos a prova formal com a escolha \delta=\varepsilon/2.
Seja arbitrário \varepsilon>0. Defina \delta=\varepsilon/2>0. Tome qualquer x tal que 0<x<\delta. Então, usando os passos anteriores,
|f(x)-L| = 2x < 2\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Logo sempre que 0<x<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon, que é exatamente a condição da definição de limite lateral.

Passo 6

Concluímos, pela definição de limite à direita, que
\lim_{x\to 0^{+}}[2x-7]=-7.
Boa! Você acabou de provar o limite diretamente com a definição epsilon-delta — é sempre assim: manipular |f(x)-L| e escolher \delta em função de \varepsilon.

Resposta

-7

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