Exercício 3. ( 00,20 ponto cada item ) Provar os seguintes limites usando algum teorema ou definição:
\quad \lim _{t \rightarrow 1}\left[\frac{2(t-1)}{t-4} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{t}\right)\right]=0

Passo 1

O enunciado pede provar o seguinte limite:
\lim_{t\to 1}\left[\frac{2(t-1)}{t-4}\cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{t}\right)\right]=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função estudada é o produto de duas parcelas: \displaystyle \frac{2(t-1)}{t-4} e \displaystyle \cos\!\left(\frac{\pi}{t}\right).
  • Vamos analisar o comportamento quando t se aproxima de \,1.
  • Observação numérica importante: em t=1 o denominador t-4 vale -3 (não é zero), então a primeira parcela é bem definida em um entorno de t=1.

Passo 2

Vou primeiro analisar a parcela racional \displaystyle \frac{2(t-1)}{t-4}.
Propriedade usada (explicação didática): se uma função racional tem denominador diferente de zero no ponto alvo, ela é contínua ali, então o limite é obtido por substituição direta. Mais geral: se a(t)\to 0 e b(t)\to b_0\neq 0, então a(t)/b(t)\to 0.
Aplicando isso: quando t\to 1,
\text{numerador }2(t-1)\to 2\cdot 0 = 0,
\text{denominador }t-4\to 1-4 = -3 \neq 0.
Logo por substituição (continuidade) ou pelo fato geral acima,
\lim_{t\to 1}\frac{2(t-1)}{t-4}=0.
Explicação curta com exemplo: se você tem \frac{\text{coisa que vai a }0}{\text{coisa que vai a }-3} então o quociente tende a 0/(-3)=0.

Passo 3

Agora analiso \displaystyle \cos\!\left(\frac{\pi}{t}\right).
Propriedade usada (explicação didática): a função cosseno é contínua em todo ponto real; composição contínua preserva limites. Mais precisamente: se h(t)\to L e \varphi é contínua em L, então \varphi(h(t))\to \varphi(L).
Aqui h(t)=\pi/t. Quando t\to 1,
\lim_{t\to 1}\frac{\pi}{t}=\frac{\pi}{1}=\pi,
porque t\mapsto \pi/t é contínua em t=1 (denominador não nulo). Aplicando continuidade do cosseno,
\lim_{t\to 1}\cos\!\left(\frac{\pi}{t}\right)=\cos\!\left(\lim_{t\to 1}\frac{\pi}{t}\right)=\cos(\pi)=-1.

Passo 4

Agora aplico a propriedade do limite do produto (explicação didática): se \lim_{t\to a}u(t)=U e \lim_{t\to a}v(t)=V e ambos são finitos, então \lim_{t\to a} u(t)v(t)=UV.
Usando os limites obtidos nos passos anteriores:
\lim_{t\to 1}\frac{2(t-1)}{t-4}=0,\qquad \lim_{t\to 1}\cos\!\left(\frac{\pi}{t}\right)=-1.
Portanto
\lim_{t\to 1}\left[\frac{2(t-1)}{t-4}\cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{t}\right)\right]=0\cdot(-1)=0.

Passo 5

(Prova alternativa — uso do Teorema do Confronto / Squeeze, para reforçar a ideia)
Observação: para todo t em que \frac{\pi}{t} é definido, vale |\cos(\pi/t)|\le 1. Assim
\left|\frac{2(t-1)}{t-4}\cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{t}\right)\right|\le \left|\frac{2(t-1)}{t-4}\right|.
Do Passo 2 sabemos que \displaystyle \lim_{t\to 1}\left|\frac{2(t-1)}{t-4}\right|=0. Pelo Teorema do Confronto, a expressão original tem limite 0. Isso confirma o resultado anterior e é uma forma útil quando uma das parcelas é apenas limitada (aqui o cosseno) e a outra tende a zero.

Resposta

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