Exercício 3. ( 00,20 ponto cada item ) Provar os seguintes limites usando algum teorema ou definição:
\lim _{y \rightarrow 0} \frac{3-\sqrt{y+9}}{y}=-\frac{1}{6}.

Passo 1

O enunciado pede para provar o seguinte limite:
\lim_{y\to 0} \frac{3-\sqrt{y+9}}{y} = -\frac{1}{6}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve a função y\mapsto \sqrt{y+9}, que está definida para y\ge -9. Como estamos considerando y\to 0, estamos em uma vizinhança onde a raiz quadrada faz sentido.
  • Avaliando no ponto y=0 obtemos numerador 3-\sqrt{9}=0 e denominador 0, isto é, a forma é indeterminada \frac{0}{0}. Portanto é necessário manipular a expressão para eliminar essa indeterminação.
  • A tarefa é provar rigorosamente que o limite vale -\tfrac{1}{6}.

Passo 2

Técnica e justificativa teórica que vamos usar (explicada de forma didática):
  • Quando uma expressão tem forma indeterminada \frac{0}{0}, uma técnica útil é manipular algebricamente a expressão para cancelarmos o fator que causa a indeterminação.
  • Uma ferramenta clássica com raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (ou do denominador) para transformar a diferença de raízes em uma expressão sem raiz. Vou usar isso aqui.
  • Além disso, usaremos leis básicas de limites: se duas funções são iguais para todo y em algum intervalo com y\neq 0, então têm o mesmo limite quando y\to 0. Também usaremos que a função raiz quadrada é contínua onde definida, logo \lim_{y\to 0}\sqrt{y+9}=\sqrt{9}=3. Finalmente, se o limite do denominador é diferente de zero, a função recíproca tende ao recíproco do limite.

Passo 3

Aplicando a multiplicação pelo conjugado (passo a passo, sem pular contas):
Multiplico numerador e denominador por 3+\sqrt{y+9}:
\frac{3-\sqrt{y+9}}{y} = \frac{(3-\sqrt{y+9})(3+\sqrt{y+9})}{y(3+\sqrt{y+9})}.
No numerador uso a identidade de diferença de quadrados a^2-b^2=(a-b)(a+b). Tomando a=3 e b=\sqrt{y+9}, tenho:
(3-\sqrt{y+9})(3+\sqrt{y+9}) = 3^2 - \big(\sqrt{y+9}\big)^2 = 9 - (y+9).
Assim,
\frac{3-\sqrt{y+9}}{y} = \frac{9-(y+9)}{y(3+\sqrt{y+9})} = \frac{-y}{y(3+\sqrt{y+9})}.
Como essa manipulação exige dividir por y, isso é válido para y\neq 0. Cancelando o fator y (válido para y\neq 0) obtemos:
\frac{3-\sqrt{y+9}}{y} = -\frac{1}{3+\sqrt{y+9}}, \qquad \text{para } y\neq 0.

Passo 4

Passando ao cálculo do limite usando continuidade e leis de limite:
  • Para y próximo de 0 com y\neq 0 a expressão é igual a -\dfrac{1}{3+\sqrt{y+9}}. Portanto os limites, quando existirem, coincidem:
\lim_{y\to 0} \frac{3-\sqrt{y+9}}{y} \;=\; \lim_{y\to 0} \left(-\frac{1}{3+\sqrt{y+9}}\right).
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua em t=9, então
\lim_{y\to 0} \sqrt{y+9} = \sqrt{9} = 3.
  • A soma y\mapsto 3+\sqrt{y+9} é contínua em y=0, logo seu limite é 3+3=6. Esse limite do denominador é não nulo, então podemos aplicar o limite da função recíproca:
\lim_{y\to 0} \left(-\frac{1}{3+\sqrt{y+9}}\right) = -\frac{1}{\lim_{y\to 0} \big(3+\sqrt{y+9}\big)} = -\frac{1}{6}.

Passo 5

Comentários finais e verificação:
  • Todas as manipulações foram feitas para y\neq 0; isso é suficiente para limites, porque limite considera valores arbitrariamente próximos de 0, não necessariamente o valor em 0.
  • A razão cancelada mostrou que não há problema de divisão por zero no limite, pois o denominador tende a 6\neq 0.
  • Portanto a conclusão é consistente e justificada pelas identidades algébricas e pelas propriedades de continuidade e das operações com limites.

Resposta

-\dfrac{1}{6}

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