Exercício 3. ( 00,20 ponto cada item ) Provar os seguintes limites usando algum teorema ou definição:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar o seguinte limite:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão envolve a função
, que está definida para . Como estamos considerando , estamos em uma vizinhança onde a raiz quadrada faz sentido. - Avaliando no ponto
obtemos numerador e denominador , isto é, a forma é indeterminada . Portanto é necessário manipular a expressão para eliminar essa indeterminação. - A tarefa é provar rigorosamente que o limite vale
.
Passo 2
Técnica e justificativa teórica que vamos usar (explicada de forma didática):
- Quando uma expressão tem forma indeterminada
, uma técnica útil é manipular algebricamente a expressão para cancelarmos o fator que causa a indeterminação. - Uma ferramenta clássica com raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador (ou do denominador) para transformar a diferença de raízes em uma expressão sem raiz. Vou usar isso aqui.
- Além disso, usaremos leis básicas de limites: se duas funções são iguais para todo
em algum intervalo com , então têm o mesmo limite quando . Também usaremos que a função raiz quadrada é contínua onde definida, logo . Finalmente, se o limite do denominador é diferente de zero, a função recíproca tende ao recíproco do limite.
Passo 3
Aplicando a multiplicação pelo conjugado (passo a passo, sem pular contas):
Multiplico numerador e denominador por :
Multiplico numerador e denominador por
No numerador uso a identidade de diferença de quadrados
. Tomando
e
, tenho:
Assim,
Como essa manipulação exige dividir por
, isso é válido para
. Cancelando o fator
(válido para
) obtemos:
Passo 4
Passando ao cálculo do limite usando continuidade e leis de limite:
- Para
próximo de com a expressão é igual a . Portanto os limites, quando existirem, coincidem:
- A função
é contínua em , então
- A soma
é contínua em , logo seu limite é . Esse limite do denominador é não nulo, então podemos aplicar o limite da função recíproca:
Passo 5
Comentários finais e verificação:
- Todas as manipulações foram feitas para
; isso é suficiente para limites, porque limite considera valores arbitrariamente próximos de , não necessariamente o valor em . - A razão cancelada mostrou que não há problema de divisão por zero no limite, pois o denominador tende a
. - Portanto a conclusão é consistente e justificada pelas identidades algébricas e pelas propriedades de continuidade e das operações com limites.