Exercício 1. (00,30 ponto cada item) Uma pedra é atirada verticalmente para cima com velocidade inicial de 25 m / s. Neste caso deve-se considerar que a aceleração da gravidade ( g=9,8 m / s^2 ) seja o único fator que aje sobre a pedra. Empregando as técnicas aprendidas com o cálculo integral de funções de uma variável real, resolver as seguintes questões:
(a) quanto tempo a pedra leva para atingir o chão novamente?
(b) qual é a velocidade com que a pedra atinge o chão novamente?
(c) em qual instante a pedra atinge a altura máxima? qual é a altura máxima atingida pela pedra?
(d) sendo v=v(t) a velocidade da pedra em função do tempo e sendo tf o instante final, no qual a pedra volta ao solo novamente (calculado no item (a)), quais informações se obtém fazendo
integral0^tf v(t) d t e integral0^tf|v(t)| d t ?

Passo 1

O enunciado descreve uma pedra lançada verticalmente para cima com velocidade inicial ,v0=25 m/s, e aceleração da gravidade constante ,g=9,8 m/s^2, (no sentido para baixo). Vamos usar integração para obter a velocidade v(t) a partir da aceleração e depois a posição s(t); com essas funções, responderemos (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

A aceleração é a(t)=-g. Integrando-a de 0 até t obtemos a velocidade:
v(t)=v(0)+integral0^ta(tau),dtau =25-integral0^t9,8,dtau =25-9,8,t
Em seguida integramos v(t) para achar a altura s(t), tomando s(0)=0:
s(t)=s(0)+integral0^tv(tau),dtau =integral0^tl(25-9,8,taur),dtau =25,t-4,9,t^2

Passo 3

(a) A pedra volta ao solo quando s(tf)=0. Logo
25,tf-4,9,tf^2=0 Longrightarrow tfl(25-4,9,tfr)=0
descartamos tf=0 e ficamos com
tf=254,9approx5,10 s

Passo 4

(b) A velocidade ao retornar é
v(tf)=25-9,8,tf =25-9,8cdot254,9 =25-50=-25 m/s

Passo 5

(c) A altura máxima ocorre quando v(tm)=0:
25-9,8,tm=0 Longrightarrow tm=259,8approx2,55 s
A altura máxima é
s(tm)=25,tm-4,9,tm^2 =25^22cdot9,8 approx31,89 m

Passo 6

(d)
integral0^tfv(t),dt representa o deslocamento líquido, que é
s(tf)-s(0)=0
integral0^tf|v(t)|,dt representa a distância total percorrida, que corresponde à subida até a altura máxima e à descida, ou seja,
2cdot31,89approx63,78 m

Resposta

(a) tf=dfrac254,9approx5,10 s
(b) v(tf)=-25 m/s
(c) tm=dfrac259,8approx2,55 s, hmax=dfrac25^22cdot9,8approx31,89 m
(d) integral0^tfv(t),dt=0 (deslocamento líquido),
integral0^tf|v(t)|,dtapprox63,78 m (distância total percorrida).

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