Exercício 2. ( 01,10 ponto ) Obter a derivada primeira da função dada por
G(x)=(integralraizx^0 sin (t^2) d t)^3, onde 0<x
(Dica: regra da derivação em cadeia.)

Passo 1

O enunciado pede a derivada primeira de
G(x)=gl(integralraizx^0sinl(t^2r),dtgr)^3,
com x>0. O conteúdo envolve a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limite variável e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
F(x)=integralraizx^0sinl(t^2r),dt,
assim
G(x)=[F(x)]^3
Aplicando a regra da cadeia,
G'(x)=3[F(x)]^2,F'(x)

Passo 3

Para achar F'(x), usamos que, para
F(x)=integralu(x)^0f(t),dt,
vale
F'(x)=f(0)cdot0 - fl(u(x)r),u'(x) =-fl(u(x)r),u'(x)
Aqui u(x)=raizx, logo u'(x)=tfrac12raizx e f(t)=sin(t^2). Portanto,
F'(x)=-sinl((raizx)^2r),12raizx =-sin(x)2raizx

Passo 4

Substituindo F(x) e F'(x) em G'(x), obtemos
G'(x) =3gl(integralraizx^0sin(t^2),dtgr)^2 l(-sin(x)2raizxr) =-3sin(x)2raizx gl(integralraizx^0sin(t^2),dtgr)^2

Resposta

G'(x) =-3sin(x)2raizx gl(integralraizx^0sin(t^2),dtgr)^2

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