Exercício 5. (00,75 ponto cada item) Seja R a regiäo compreendida pela funçäo y= x^2+1, a reta horizontal y=0 e as retas verticais x=0 e x=1. Calcular o volume do sólido obtido por rotacionar R em torno do
(a) eixo O x;

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada por y=x^2+1, y=0, x=0 e x=1, e pede o volume do sólido gerado ao rotacionar R em torno do eixo O x. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), onde cada fatia em x gera um disco de raio igual à função ysuperior-yinferior.

Passo 2

Ao girar em torno de O x, a seção transversal em x é um disco de raio
R(x)=l(x^2+1r)-0=x^2+1
e área
A(x)=pil[R(x)r]^2=pi,(x^2+1)^2

Passo 3

O volume é a integral das áreas dos discos de x=0 a x=1:
V = integral0^1 A(x),dx
V = integral0^1 pi,(x^2+1)^2 ,dx

Passo 4

Expandindo o quadrado:
(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1,
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V = pi integral0^1 l(x^4 + 2x^2 + 1r),dx

Passo 5

Calculando a integral:
integral0^1 x^4,dx = 15, integral0^1 2x^2,dx = 23, integral0^1 1,dx = 1,
portanto
V = pil(15 + 23 + 1r) = pil(3+10+1515r) = 2815,pi

Resposta

V = 2815,pi

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