Exercício 4. (01,00 ponto cada item) Obter cada uma das seguintes antiderivadas:
(b) integral(cot (x)) ln (sin (x)) d x;

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de
integral cot(x),lnl(sin(x)r),dx
O conteúdo é técnica de integração por substituição, observando que a derivada de ln(sin(x)) é cot(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = lnl(sin(x)r)
Então, aplicando derivada,
du = ddxl[ln(sin(x))r],dx = cot(x),dx

Passo 3

Com essa mudança de variável, o integrando fica
cot(x),lnl(sin(x)r),dx = u,du
Logo a integral transforma-se em
integral u,du

Passo 4

Integramos em u:
integral u,du = u^22 + C

Passo 5

Voltando à variável original, u = ln(sin(x)), obtemos
u^22 + C = l[ln(sin(x))r]^22 + C

Resposta

12l[ln(sin(x))r]^2 + C

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