Exercício 5. (00,75 ponto cada item) Seja R a regiäo compreendida pela funçäo y= x^2+1, a reta horizontal y=0 e as retas verticais x=0 e x=1. Calcular o volume do sólido obtido por rotacionar R em torno do
(b) eixo O y.

Passo 1

Resumindo, nossa região R é o conjunto de pontos limitados pelas curvas ,y=x^2+1, ,y=0, ,x=0 e ,x=1. O problema pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo Oy. Para descobrir esse volume vamos usar o método dos cilindros (casca cilíndrica), que é eficiente quando giramos em torno de um eixo vertical usando fatias verticais.

Passo 2

Tomamos uma fatia vertical em x de espessura dx. Ao girar essa fatia em torno do eixo Oy forma-se um cilindro (casca) de raio igual a x, altura igual à diferença entre y máximo e y mínimo na região, ou seja,
a<ura = (x^2+1) - 0 = x^2 + 1

Passo 3

O volume dessa casca é
dV = 2pi cdot (raio) cdot (a<ura) , dx = 2pi,x,(x^2+1),dx
Para todo o sólido, integramos x de 0 até 1:
V = integral0^1 2pi,x,(x^2+1),dx

Passo 4

Agora calculamos a integral:
integral0^1 x(x^2+1),dx = integral0^1 (x^3 + x),dx = l[tfracx^44 + tfracx^22r]0^1 = tfrac14 + tfrac12 = tfrac34
Multiplicando por 2pi,
V = 2pi cdot tfrac34 = tfrac3pi2

Resposta

O volume do sólido é tfrac3pi2.

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