Exercício 5. (00,75 ponto cada item) Seja
a regiäo compreendida pela funçäo
, a reta horizontal
e as retas verticais
e
. Calcular o volume do sólido obtido por rotacionar
em torno do
(b) eixo
.
(b) eixo
Passo 1
Resumindo, nossa região
é o conjunto de pontos limitados pelas curvas
,
,
e
. O problema pede o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
. Para descobrir esse volume vamos usar o método dos cilindros (casca cilíndrica), que é eficiente quando giramos em torno de um eixo vertical usando fatias verticais.
Passo 2
Tomamos uma fatia vertical em
de espessura
. Ao girar essa fatia em torno do eixo
forma-se um cilindro (casca) de raio igual a
, altura igual à diferença entre
máximo e
mínimo na região, ou seja,
Passo 3
O volume dessa casca é
Para todo o sólido, integramos
de
até
:
Passo 4
Agora calculamos a integral:
Multiplicando por
,
Resposta
O volume do sólido é
.