Exercício 2. ( 01,00 ponto ) Obter a derivada primeira da funçäo dada por
G(x)=(integral0^sin (x) raizt d t)^2, onde 0<x<pi
(Dica: negra da derivação em cadeia.)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos derivar a função
G(x)=l(integral0^sin(x)raizt,dtr)^2
no intervalo 0<x<pi. Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (para diferenciar uma integral com limite variável) e a regra da cadeia (para a potência ao quadrado).

Passo 2

Definimos
F(x)=integral0^sin(x)raizt,dt,
de modo que
G(x)=[F(x)]^2
Pela regra da cadeia para umapsto u^2 temos
G'(x)=2,F(x),F'(x)

Passo 3

Para achar F'(x) aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia no limite superior sin(x):
F'(x)=raizsin(x);l(sin(x)r)'=raizsin(x),cos(x)

Passo 4

Substituindo em G'(x) obtemos
G'(x) =2;l(integral0^sin(x)raizt,dtr);raizsin(x),cos(x)
Se quisermos simplificar usando
integral0^uraizt,dt=tfrac23,u^3/2
com u=sin(x), então
G'(x) =2cdottfrac23sin^3/2(x);raizsin(x);cos(x) =tfrac43,sin^2(x),cos(x)

Resposta

G'(x) =2;l(integral0^sin(x)raizt,dtr);raizsin(x),cos(x) ou G'(x)=43,sin^2(x),cos(x)

Exercícios relacionados