Exercício 4. ( 01,20 ponto cada item ) Obter cada uma das seguintes antiderivadas:
integral e^-2 x cos (2 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
I = integral e^-2xcos(2x),dx
O conteúdo necessário é integração por partes repetida, já que temos produto de uma exponencial por cosseno.

Passo 2

Aplicamos integração por partes em I. Tome
u = cos(2x), dv = e^-2xdx
Então
du = -2sin(2x)dx, v = integral e^-2xdx = -tfrac12e^-2x
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I = uv - integral v,du = -tfrac12e^-2xcos(2x) - integrall(-tfrac12e^-2xr)l(-2sin(2x)r)dx = -tfrac12e^-2xcos(2x) - integral e^-2xsin(2x),dx
Definimos
J = integral e^-2xsin(2x),dx,
de modo que
I = -tfrac12e^-2xcos(2x) - J

Passo 3

Agora calculamos J por partes. Tome
u = sin(2x), dv = e^-2xdx,
então
du = 2cos(2x)dx, v = -tfrac12e^-2x
Segue
J = uv - integral v,du = -tfrac12e^-2xsin(2x) - integrall(-tfrac12e^-2xr)l(2cos(2x)r)dx = -tfrac12e^-2xsin(2x) + integral e^-2xcos(2x),dx
Isto é,
J = -tfrac12e^-2xsin(2x) + I

Passo 4

Substituindo J em I = -tfrac12e^-2xcos(2x) - J, temos
I = -tfrac12e^-2xcos(2x) - l(-tfrac12e^-2xsin(2x) + Ir) = -tfrac12e^-2xcos(2x) + tfrac12e^-2xsin(2x) - I
Reagrupando,
2I = tfrac12e^-2xl(sin(2x)-cos(2x)r) Longrightarrow I = tfrac14e^-2xl(sin(2x)-cos(2x)r) + C

Resposta

integral e^-2xcos(2x),dx = tfrac14e^-2xl(sin(2x)-cos(2x)r) + C

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