Exercício 6. (oo,3o ponto cada item) Uma bola sai do repouso e após t segundos sua velocidade é v=v(t)=2 t+5 metros por segundo. Pede-se:
(a) calcular a velocidade média no intervalo 0 <= t <= 4;
(b) se no instante t=0 a bola está na posição inicial s0=6 metros, obter a função do espaço pelo tempo, s=s(t);
(c) calcular a distância média percorrida no intervalo 0 <= t <= 4.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade de uma bola em função do tempo
v(t)=2t+5
(m/s) e pede três coisas:
– (a) a velocidade média no intervalo 0<= t<=4;
– (b) a posição s(t) sabendo que s(0)=6 m;
– (c) a distância média percorrida no mesmo intervalo.
Para isso vamos usar:
  1. Definição de valor médio de uma função f em [a,b]:
bar f=1b-aintegrala^b f(t),dt
  1. Relação entre posição e velocidade: s'(t)=v(t).

Passo 2

(a) A velocidade média bar v em [0,4] é
bar v=14-0integral0^4v(t),dt =14integral0^4(2t+5),dt
Calculando a integral:
integral0^4(2t+5),dt =l[t^2+5tr]0^4 =(4^2+5cdot4)-0 =16+20=36
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bar v=364=9 m/s

Passo 3

(b) Para achar s(t), integramos v(t):
s(t)=integral v(t),dt =integral(2t+5),dt =t^2+5t+C
Como s(0)=6, temos
s(0)=0+0+C=6implies C=6
Portanto
s(t)=t^2+5t+6

Passo 4

(c) Primeiro obtemos a distância total percorrida em [0,4], que é
integral0^4|v(t)|,dt
mas como v(t)=2t+5>0 no intervalo, basta
integral0^4(2t+5),dt=36 m

Passo 5

A distância média percorrida (isto é, a “velocidade média escalar”) é a distância total dividida pelo tempo:
364=9 m/s

Resposta

(a) 9 m/s
(b) s(t)=t^2+5t+6
(c) 9 m/s

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