Exercício 01: Determinar se S é ou não subespaço de V=\mathbb{R}^{3}, onde S é o conjunto de vetores (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tais que:
x=y=z,

Passo 1

O enunciado define
\displaystyle V=\mathbb{R}^3
e
\displaystyle S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x=y=z\}.
Queremos verificar se S é subespaço de V. Para isso, usamos o critério de subespaço:
  1. S não é vazio (contém o vetor zero).
  2. S é fechado sob soma de vetores.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0) está em S.
Como 0=0=0, temos \mathbf{0}\in S.

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(x,x,x) e \mathbf{v}=(y,y,y) dois vetores em S.
Então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x+y,\;x+y,\;x+y),
e de fato (x+y)=(x+y)=(x+y). Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S, mostrando que S é fechado sob soma.

Passo 4

Seja \mathbf{u}=(x,x,x)\in S e seja \lambda\in\mathbb{R}.
Então
\lambda\,\mathbf{u}=(\lambda x,\;\lambda x,\;\lambda x),
e claramente \lambda x=\lambda x=\lambda x. Isso mostra que S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que S é de fato um subespaço de \mathbb{R}^3.

Resposta

S é subespaço de \mathbb{R}^3.

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