Exercício 01: Determinar se
é ou não subespaço de
, onde
é o conjunto de vetores
tais que:
,
Passo 1
O enunciado define
e
Queremos verificar se é subespaço de
. Para isso, usamos o critério de subespaço:
e
Queremos verificar se
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
.
Como , temos
.
Como
Passo 3
Sejam
e
dois vetores em
.
Então
Então
e de fato
. Logo
, mostrando que
é fechado sob soma.
Passo 4
Seja
e seja
.
Então
Então
e claramente
. Isso mostra que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.