Exercício 08: Verifique se os conjuntos de vetores abaixo formam base de mathbb{R}^{3} :
\beta=\{(3,-1,1),(2,0,2),(0,1,-2),(1,0,-3)\},

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\beta = \{(3,-1,1),\,(2,0,2),\,(0,1,-2),\,(1,0,-3)\}
é uma base de \mathbb{R}^3. O conteúdo envolvido é independência linear e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Para ser base de \mathbb{R}^3, o conjunto deve ter exatamente 3 vetores linearmente independentes e gerar todo \mathbb{R}^3. Como \dim(\mathbb{R}^3)=3, qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente.

Passo 3

Aqui temos 4 vetores em \mathbb{R}^3\), logo já concluímos que são linearmente dependentes. Podemos ainda exibir a relação de dependência: seja \(\mathbf v_1=(3,-1,1)\), \(\mathbf v_2=(2,0,2)\), \(\mathbf v_3=(0,1,-2)\) e \(\mathbf v_4=(1,0,-3)\). Encontramos coeficientes \(a,b,c\) tais que \[a\,\mathbf v_1 + b\,\mathbf v_2 + c\,\mathbf v_3 = \mathbf v_4.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3a + 2b + 0c = 1,\\\\ -\,a + 0b + c = 0,\\\ \;a + 2b -2c = -3, \end{cases}
obtemos a=1\], \(b=-1, c=1. Portanto
\mathbf v_4 = 1\cdot\mathbf v_1 \;-\;1\cdot\mathbf v_2 \;+\;1\cdot\mathbf v_3,
ou seja, \beta é linearmente dependente.

Passo 4

Como \beta não é linearmente independente, ela não pode ser base de \mathbb{R}^3.

Resposta

O conjunto \beta não forma base de \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados