Dados os pontos A=(3,2,2), B=(1,0,0), C=(2,3,-1), D=(0,1,1) e E=(0,-2,1), determine:
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E A}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA}
sendo A,B,C,D,E pontos em \mathbb{R}^3. O conteúdo envolvido é geometria vetorial: uso de vetores posição e propriedade de soma de vetores em polígono fechado.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer pontos P,Q,
\overrightarrow{PQ} = \vec{Q} - \vec{P},
onde \vec{P} e \vec{Q}$ são os vetores posição de \(P e Q.)

Passo 3

Aplicando a definição a cada vetor:
\overrightarrow{AB} = (1-3,\;0-2,\;0-2) = (-2,-2,-2),
\overrightarrow{BC} = (2-1,\;3-0,\;-1-0) = (1,3,-1),
\overrightarrow{CD} = (0-2,\;1-3,\;1-(-1)) = (-2,-2,2),
\overrightarrow{DE} = (0-0,\;-2-1,\;1-1) = (0,-3,0),
\overrightarrow{EA} = (3-0,\;2-(-2),\;2-1) = (3,4,1).

Passo 4

Somando componente a componente:
(-2)+(1)+(-2)+(0)+(3) = 0,\quad (-2)+(3)+(-2)+(-3)+(4) = 0,\quad (-2)+(-1)+(2)+(0)+(1) = 0.
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\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA} = (0,0,0).

Resposta

(0,0,0)

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