Exercício 01: Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais lineares de
ordem:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais (impostas em
): e . - Pedido: encontrar uma solução
que satisfaça a equação diferencial e as duas condições.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática e simples):
- Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes como
costumamos tentar soluções exponenciais da forma porque derivadas de exponenciais retornam exponenciais e isso transforma a ODE em uma equação algébrica para . - Substituindo
em obtemos a equação característica
Aqui
é a incógnita dessa equação algébrica; suas raízes determinam a forma geral das soluções.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
- As raízes são
ou seja, um par de raízes complexas conjugadas
.
- Para raízes complexas
a solução real geral é combinação linear de e . No nosso caso e , portanto a solução geral real é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições dadas.
- Derivada dessa solução (vamos precisar para aplicar
):
Expliquei:
e
são constantes arbitrárias que serão fixadas pelas condições em
.
Passo 4
Aplicando a condição
:
- Avaliando
em :
- Sabendo que
e , obtemos
- A condição impõe
, logo
Passo 5
Aplicando a condição
:
- Primeiro escrevemos
novamente: . - Avaliando em
e usando :
- A condição
dá , portanto
Passo 6
Resumo dos constantes encontradas e verificação rápida:
- Encontrou-se
e . - Com esses valores,
(ok) e (ok). Tudo consistente.