Exercício 01: Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais lineares de 2{ }^{\text {a }} ordem:
y^{\prime \prime}+y=0, y(\pi)=0, y^{\prime}(\pi)=2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Equação diferencial: y'' + y = 0.
  • Condições iniciais (impostas em x=\pi): y(\pi)=0 e y'(\pi)=2.
  • Pedido: encontrar uma solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática e simples):
  • Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes como \,y''+y=0\,, costumamos tentar soluções exponenciais da forma \,y(x)=e^{r x}\,, porque derivadas de exponenciais retornam exponenciais e isso transforma a ODE em uma equação algébrica para r.
  • Substituindo y=e^{r x} em y''+y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+1=0.
Aqui r é a incógnita dessa equação algébrica; suas raízes determinam a forma geral das soluções.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
  • As raízes são
r^{2}=-1\quad\Rightarrow\quad r=\pm i,
ou seja, um par de raízes complexas conjugadas \pm i.
  • Para raízes complexas \alpha\pm i\beta a solução real geral é combinação linear de \mathrm{e}^{\alpha x}\cos(\beta x) e \mathrm{e}^{\alpha x}\sin(\beta x). No nosso caso \alpha=0 e \beta=1, portanto a solução geral real é
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições dadas.
  • Derivada dessa solução (vamos precisar para aplicar y'(\pi)=2):
y'(x)=-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Expliquei: C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que serão fixadas pelas condições em x=\pi.

Passo 4

Aplicando a condição y(\pi)=0:
  • Avaliando y em x=\pi:
y(\pi)=C_{1}\cos\pi + C_{2}\sin\pi.
  • Sabendo que \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, obtemos
y(\pi)=C_{1}(-1) + C_{2}\cdot 0 = -C_{1}.
  • A condição impõe -C_{1}=0, logo
C_{1}=0.

Passo 5

Aplicando a condição y'(\pi)=2:
  • Primeiro escrevemos y'(x) novamente: y'(x)=-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
  • Avaliando em x=\pi e usando C_{1}=0:
y'(\pi)=-0\cdot\sin\pi + C_{2}\cos\pi = C_{2}(-1) = -C_{2}.
  • A condição y'(\pi)=2 -C_{2}=2, portanto
C_{2}=-2.

Passo 6

Resumo dos constantes encontradas e verificação rápida:
  • Encontrou-se C_{1}=0 e C_{2}=-2.
  • Com esses valores, y(\pi)=-C_{1}=0 (ok) e y'(\pi)=-C_{2}=2 (ok). Tudo consistente.

Resposta

y(x) = -2\sin x

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